Question

В ящике лежат одинаковые по форме пуговицы: 6 черных и 5 белых. Работнице требуется пришить к очередному пальто 3 черные пуговицы. Определить вероятность того, что среди наугад взятых 5 пуговиц имеется нужное количество черных пуговиц.

Answer 1

 
Ответ равен:50 процентов

Answer 2

Для решения этой задачи используется комбинаторика и вероятность.

У нас есть 11 пуговиц: 6 черных и 5 белых. Мы хотим определить вероятность того, что из 5 наугад взятых пуговиц 3 будут черного цвета.

Для начала рассмотрим общее количество способов выбрать 5 пуговиц из 11. Это можно сделать с использованием биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) - это факториал числа \( n \). В нашем случае \( n = 11 \) и \( k = 5 \):

\[ C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \]

Теперь определим количество способов выбрать 3 черные пуговицы из 6 (черных):

\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \]

Так как черные пуговицы одинаковы по форме, порядок их выбора не важен, поэтому мы делим на \( 3! \) (факториал от количества черных пуговиц).

Теперь определим количество способов выбрать 2 белые пуговицы из 5 (белых):

\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \]

Так как белые пуговицы одинаковы по форме, порядок их выбора не важен, поэтому мы делим на \( 2! \) (факториал от количества белых пуговиц).

Теперь мы можем использовать эти значения для определения вероятности того, что из 5 наугад взятых пуговиц 3 будут черного цвета:

\[ P(\text{3 черные из 5}) = \frac{C(6, 3) \cdot C(5, 2)}{C(11, 5)} \]

Подставим значения:

\[ P(\text{3 черные из 5}) = \frac{\frac{6!}{3! \cdot 3!} \cdot \frac{5!}{2! \cdot 3!}}{\frac{11!}{5! \cdot 6!}} \]

Упростим выражение и найдем числовое значение.