Question

Решите пожалуйста. Распишите подробно. За ранее спасибо. a) Сейчас в классе 21 человек, из них 5 девочек. Какое наименьшее число надо добавить в класс (мальчики не добавляются), чтобы доля девочек в нем стала больше 1/3? б) Написали два числа - первое и второе. К первому прибавили второе - получили третье, ко второму прибавили третье - получили четвертое и т.д. Сумма первых шести чисел равна 2015. Чему равно пятое число? в)Из четырех внешне одинаковых монет три - настоящие и весят одинаково, а четвертая фальшивая, и её вес отличается от веса настоящей. Имеются весы, на которых можно определить точный вес двух или большего числа монет. Точный вес одной монеты определить нельзя. Как за 4 взвешивания найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее, чем настоящие? г) В треугольнике ABC AC=1, AB=2, O - точка пересечения биссектрис. Отрезок, проходящий через точку О параллельно стороне BC, пересекает стороны AC и AB в точках K и M соответственно. Найдите периметр треугольника AKM. д) Дети, построенные парами, вышли из парка, где они собирали листья для гербария. В каждой паре идут мальчик и девочка, при этом у мальчика либо ровно в два раза больше листьев, чем у девочки, либо в пятеро меньше. Может ли оказаться так, что в сумме у всех детей ровно 2015 листьев?

Answer 1

А) (5+х)*3=21+х
15+3х=21+х
2х=6
х=3 девочки нужно добавить, что девочек в классе стало ровно одна третья
Значит нужно добавить хотя бы 3+1=4 девочки, тогда в классе станет 25 человек, из них 9 девочек, что составит больше чем одна третья.
б)1)На каждую из чашек кладем по две монеты . Очевидно, одна из чашек будет тяжелее, другая легче -1 взвешивание.
2)Далее -возьмем две монеты с одной из чашек и временно отложим в сторону, две оставшиеся кладем на разные чашки. Если весы пришли в равновесие, то  на весах две настоящие монеты -2 взвешивание.
3)Снимаем одну из настоящих монет с весов и кладем туда одну из ранее отложенных  -если весы в равновесии, то на весах две настоящие монеты, а оставшаяся отложенная -фальшивая. -3 взвешивание.
4) Берем фальшивую монету и кладем на весы, сравниваем её с настоящей, чтобы определить какая из монет тяжелее -это было 4 взвешивание.
Ко второму пункту - Если весы не в равновесии, тогда две  отложенные монеты - настоящие , тогда их используем также,как описано для настоящих монет в 3-м и 4-м пунктах.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди:

а) Добавление девочек в класс

В настоящий момент в классе 5 девочек из 21 человека. Чтобы доля девочек стала больше 1/3, нам нужно, чтобы количество девочек стало больше чем 1/3 от общего числа человек.

\[ \frac{\text{Количество девочек}}{\text{Общее количество человек}} > \frac{1}{3} \]

\[ \frac{5}{21 + x} > \frac{1}{3} \]

Решив это неравенство, мы найдем минимальное значение \( x \), которое обеспечивает это условие.

\[ 15 < 21 + x \] \[ x > 6 \]

Таким образом, минимальное количество человек, которое нужно добавить в класс, чтобы доля девочек стала больше 1/3, равно 7 (всего будет 28 человек, из которых 12 девочек).

б) Сумма первых шести чисел

Пусть первое число равно \( a \), второе равно \( b \), и так далее. Согласно условию:

\[ a + b + (a + b) + (b + (a + b)) + ((a + b) + (b + (a + b))) + \ldots = 2015 \]

Это можно упростить:

\[ 3a + 5b = 2015 \]

Сумма первых шести чисел - это \( a + b + (a + b) + (b + (a + b)) + ((a + b) + (b + (a + b))) \). Мы можем использовать уравнение для нахождения значения этой суммы.

\[ 3a + 5b = 2015 \] \[ 3(a + b + (a + b) + (b + (a + b)) + ((a + b) + (b + (a + b)))) = 2015 \] \[ 3(a + b + 2(a + b) + 3(a + b)) = 2015 \] \[ 3(6a + 9b) = 2015 \] \[ 18a + 27b = 2015 \]

в) Нахождение фальшивой монеты

Имеется 4 монеты, 3 из них одинаковы по весу, а 4-я фальшивая. Нам нужно определить, легче или тяжелее фальшивая монета. Для этого можно воспользоваться весами.

Разделим 4 монеты на две группы по две монеты. Поставим одну группу на левую чашу весов, другую на правую.

1. Если весы сбалансированы, значит фальшивая монета не входит в эту пару. Переходим к оставшимся двум монетам. 2. Если весы не сбалансированы, берем группу, в которой вес меньше. Там либо фальшивая легче, либо фальшивая тяжелее.

Повторяем этот процесс для двух оставшихся монет, и таким образом определяем, легче или тяжелее фальшивая монета.

г) Периметр треугольника AKM

Из условия видим, что треугольник ABC - это прямоугольный треугольник, так как \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \). Поскольку O - точка пересечения биссектрис, треугольник AKM также является прямоугольным, и мы можем воспользоваться тем же соотношением:

\[ AK^2 = AM \cdot AB \]

Теперь можем найти периметр треугольника AKM:

\[ P_{AKM} = AK + AM + MK \]

д) Листья для гербария

Давайте обозначим количество листьев у девочки через \( d \), у мальчика - через \( m \). По условию, у мальчика листьев либо в два раза больше, либо в пять раз меньше, чем у девочки.

Мы можем записать уравнение для суммы листьев:

\[ m + d = 2015 \]

Также у нас есть условие, что у мальчика листьев либо в два раза больше, либо в пять раз меньше, чем у девочки:

\[ m = 2d \text{ или } m = \frac{1}{5}d \]

Решив систему уравнений, мы сможем определить значения \( m \) и \( d \), при условии, что сумма листьев равна 2015.