Question

выразить log 45 по основанию 20 через a и b, если a=lg2, b=lg3

Answer 1

1lg2*lg3=lg5

ответ:lg5

Answer 2

Конечно, посмотрим, как можно выразить \( \log_{20} 45 \) через \( a \) и \( b \), где \( a = \log_2 \) и \( b = \log_3 \).

Зная, что \( \log_{20} 45 \) можно представить как \( \frac{\log 45}{\log 20} \), давайте начнем с этого.

Сначала представим 45 и 20 через основания \( a \) и \( b \): \( 45 = 3^2 \cdot 5 \)

\( 20 = 2^2 \cdot 5 \)

Теперь представим эти числа через \( a \) и \( b \):

\( \log_{a} 45 = \log_{a} (3^2 \cdot 5) = \log_{a} 3^2 + \log_{a} 5 = 2 \cdot \log_{a} 3 + \log_{a} 5 \)

\( \log_{b} 20 = \log_{b} (2^2 \cdot 5) = \log_{b} 2^2 + \log_{b} 5 = 2 \cdot \log_{b} 2 + \log_{b} 5 \)

Теперь по условию \( a = \log_2 \) и \( b = \log_3 \):

\( \log_{a} 3 = \log_{\log_2} 3 = \frac{1}{\log_2} \log_3 = \frac{1}{a} b \)

Итак, у нас есть:

\( \log_{a} 45 = 2 \cdot \log_{a} 3 + \log_{a} 5 = 2 \cdot \left(\frac{1}{a} b\right) + \log_{a} 5 = \frac{2b}{a} + \log_{a} 5 \)

\( \log_{b} 20 = 2 \cdot \log_{b} 2 + \log_{b} 5 = 2 \cdot 1 + \log_{b} 5 = 2 + \log_{b} 5 \)

Итак, \( \log_{20} 45 = \frac{2b}{a} + \log_{a} 5 - (2 + \log_{b} 5) \).