Question

Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, и на 15 дает равные ненулевые остатки и первая цифра справа в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите одно такое число. Пожалуйста, с объяснением!

Answer 1

Ненулевой остаток от деления на 4 может быть равен 1, 2 или 3.
Если при делении на 15 остаток такой же, то и при делении на 60 тоже.
Значит, это трехзначное число, которое можно представить как
100a + b + c = 60p + 1; или 60p + 2; или 60p + 3.
Так как 60 делится на 10, то c = остатку, 1, 2 или 3.
И это число с есть среднее арифметическое чисел a и b.
Если с = 1, то a = b = 1, но число 111 при делении на 60 дает остаток 51.
Если с = 2, то а = 3, b = 1, или наоборот, a = 1, b = 3, или a = 4, b = 0.
Но числа 132, 312 и 402 тоже дают не те остатки.
Значит, c = 3. Тогда возможны такие пары:
(a; b) = (4; 2); (2; 4); (1; 5); (5; 1); (6; 0)
Из чисел 420, 240, 150, 510, 600 только 240 и 600 делятся на 60.
Ответы: 243 и 603

Answer 2

Пусть остатки при делении числа n на 4 и на 15 равны r, r = 1, 2 или 3. Тогда n - r делится на 4 * 15 = 60 (и оканчивается на 0), тогда последняя цифра в записи числа n равна r, а число, образованное первыми двумя цифрами, делится на 6.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма первых двух цифр в записи 2r, так что для того, чтобы число, образованное этими цифрами, делилось на 6, нужно, чтобы сумма цифр делилась на 3, и вторая цифра была чётной. Значит, r = 3, сумма цифр равна шести, и обе цифры чётные.

6 = 6 + 0 = 2 + 4 = 4 + 2, что даёт три возможных числа:
603, 243 и 423. 

Answer 3

Пусть искомое число имеет вид XYZ, где X - первая цифра справа, Y - вторая цифра справа, Z - третья цифра справа.

Так как при делении на 4 и на 15 число даёт равные ненулевые остатки, то число XYZ должно быть кратно как 4, так и 15.

Для того чтобы число было кратно 4, последние две цифры YZ должны быть кратны 4. Возможными вариантами для YZ являются 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.

Для того чтобы число было кратно 15, сумма всех цифр XYZ должна быть кратна 3. Возможными в