Question

Из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный ниже по те­че­нию реки, от­пра­вил­ся плот. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из пунк­та В вышел катер. Встре­тив плот, катер сразу по­вер­нул и по­плыл назад. Какую часть пути от А до В прой­дет плот к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В, если ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде вчет­ве­ро боль­ше ско­ро­сти те­че­ния реки?

Answer 1

Пусть ско­рость те­че­ния реки (и плота) x км/ч. Тогда ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния равна 4x-x=3x км/ч, а по те­че­нию 4x+x=5x км/ч. Следовательно, ско­рость ка­те­ра про­тив те­че­ния в 3 раза боль­ше ско­ро­сти плота, а по течению — в 5 раз боль­ше ско­ро­сти плота. Если плот до встре­чи про­плыл S км, то катер — в 3 раза больше, т. е. 3S км. После встре­чи катер прой­дет 3S км, а плот — в 5 раз меньше, т. е. 3S/5 км. Всего плот прой­дет

S+3S/5=8S/5

От­но­ше­ние прой­ден­но­го пло­том пути ко всему пути равно

(8S/5)/4S=2/5

Answer 2

Пусть скорость плота в стоячей воде равна V, а скорость течения реки равна R. Тогда скорость плота относительно берега будет равна V - R.

При встрече с катером, плот и катер движутся навстречу друг другу, поэтому их относительная скорость будет равна сумме их скоростей. Пусть скорость катера в стоячей воде равна 4V.

Так как плот и катер встретились и катер повернул, значит, они проплыли одинаковое расстояние. Пусть это расстояние равно D.

Тогда время, которое плот потратил на путь от А до момента возвращения катера в пункт В, равно D/(V - R).

Катер, двигаясь в сторону пункта В, проплывает расстояние D со скоростью 4V + R. Тогда время, которое катер потратил на путь от пункта В до момента встречи с плотом, равно D/(4V + R).

Так как оба времени равны, получаем следующее уравнение:

D/(V - R) = D/(4V + R)

Упростим его, умножив обе части на (V - R)(4V + R):

D(4V + R) = D(V - R)

4V^2 + VR + RV - R^2 = VD - RD

4V^2 + 2VR - VD = RD - RV + R^2

4V^2 + 2VR + VD = RD + RV - R^2

4V^2 + 2VR + VD = RD + R(V - R)

4V^2 + 2VR + VD = RD + RV - R^2

4V^2 + VD - R^2 = RD

4V^2 + VD = RD + R^2

4V^2 + VD = R(D + R)

4V^2 = R(D + R - VD)

4V^2 = R(D + R(1 - V))

4V^2/R = D + R(1 - V)

4V^2/R - R(1 - V) = D

D = 4V^2/R - R(1 - V)

Таким образом, часть пути от А до В, которую пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, равна 4V^2/R - R(1 - V).