Question

Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции y = 5/x в точке с абсциссой x0=1/5

Answer 1

Y=5/x,x0=1/5
y(1/5)=25
y`(x0)=-5/x²
y`(1/5)=-125
Y=25-125(x-1/5)=25-125x+25=-125x+50
Прямая у=-125х+50 пересекает ось ох в точке (2/3;0) и ось оу в точке (0;50)
Находим площадь прямоугольного треугольника каткты которого равны 2/3 и 50
Площадь равна 1/2*2/3*50=50/3=16 2/3

Answer 2

Для нахождения площади треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции y = 5/x в точке с абсциссой x0 = 1/5, мы можем использовать геометрический метод.

Нахождение точки касания касательной

Сначала найдем точку касания касательной к графику функции y = 5/x в точке x0 = 1/5. Для этого мы должны найти производную функции и подставить значение x0.

Функция y = 5/x может быть переписана в виде y = 5x^(-1). Чтобы найти производную функции, возьмем производную от каждого слагаемого и применим правило дифференцирования для степенной функции:

y' = -5x^(-2)

Теперь подставим x0 = 1/5 в выражение для производной:

y'(1/5) = -5(1/5)^(-2) = -5(25) = -125

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 5/x в точке x0 = 1/5 имеет вид y = -125(x - 1/5) + 5/1, где -125 - это значение производной в точке x0.

Нахождение площади треугольника

Теперь мы можем найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции y = 5/x в точке x0 = 1/5.

Для этого нам нужно найти точки пересечения касательной с осями координат. Решим уравнение касательной для y = 0, чтобы найти точку пересечения с осью x:

-125(x - 1/5) + 5/1 = 0

Упростим это уравнение:

-125x + 25 + 5 = 0

-125x + 30 = 0

Теперь решим это уравнение для x:

-125x = -30

x = -30 / -125

x = 6/25

Таким образом, точка пересечения касательной с осью x имеет координаты (6/25, 0).

Найдем точку пересечения касательной с осью y путем подстановки x = 0 в уравнение касательной:

y = -125(0 - 1/5) + 5/1

y = -125(-1/5) + 5

y = 25 + 5

y = 30

Таким образом, точка пересечения касательной с осью y имеет координаты (0, 30).

Теперь мы можем построить треугольник, ограниченный осями координат и касательной к графику функции y = 5/x в точке x0 = 1/5. Треугольник будет иметь две стороны, параллельные осям координат, и одну сторону, являющуюся касательной.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

S = 1/2 * основание * высота

В данном случае, основание треугольника будет равно 6/25, так как это расстояние между точкой пересечения касательной с осью x и началом координат (0, 0). Высота треугольника будет равна