Question

Показать, что функция y=x*e^(-x^2/2) удовлетворяет уравнению x*y'=(1-x^2)y

Answer 1

xdy/dx=(1-x^2)y

dy/y=dx(1/x-x)

интегрируя левую и правую часть имеем

lny=lnx-x^2/2

y=e^lnx*e^(-x^2/2)=x*e(-x^2/2)

можно и так, но сложнее

y'=e^(-x^2/2)-x*e^(-x^2/2)*x=e^(-x^2/2)(1-x^2)

умножаем левую и правую части на х

x*y'=y(1-x^2)

 

Answer 2

Для того чтобы показать, что функция y = x * e^(-x^2/2) удовлетворяет уравнению x * y' = (1 - x^2) * y, мы должны найти производные функции и подставить их в уравнение для проверки.

Нахождение производных

Для начала, найдем первую производную функции y = x * e^(-x^2/2). Используя правило дифференцирования произведения функций, получим:

y' = (1 * e^(-x^2/2)) + (x * (-x * e^(-x^2/2)))

Упростим это выражение:

y' = e^(-x^2/2) - x^2 * e^(-x^2/2)

Подстановка в уравнение

Теперь, подставим найденную производную в исходное уравнение x * y' = (1 - x^2) * y:

x * (e^(-x^2/2) - x^2 * e^(-x^2/2)) = (1 - x^2) * (x * e^(-x^2/2))

Упростим это уравнение:

x * e^(-x^2/2) - x^3 * e^(-x^2/2) = x * e^(-x^2/2) - x^3 * e^(-x^2/2)

Выражения справа и слева от знака равенства идентичны, что значит, что исходное уравнение выполняется для функции y = x * e^(-x^2/2).

Таким образом, мы показали, что функция y = x * e^(-x^2/2) удовлетворяет уравнению x * y' = (1 - x^2) * y.