Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком y=18+3x-3x^2 и осью абсцисс. Решил данную задачу. Получилось 62,5. Но преподаватель просит показать как была найдена первообразная. Помогите

Answer 1

Осью абсцисс это значит что у=0
  Найдем ограниченные линии
$18+3x-3x^2=0|:(-3)\\ x^2-x-6=0$
 По т. Виета: $x_1=3;\,\,\, x_2=-2$

$S= \int\limits^3_{-2} {-3(x^2-x-6)} \, dx =(-x^3+ \frac{3x^2}{2} +18x)|^3_{-2}=62.5$

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо найти первообразную функции, ограничивающей криволинейную трапецию. Затем, используя формулу для вычисления площади трапеции, найдем искомую площадь.

Итак, начнем с нахождения первообразной функции. Для этого возьмем интеграл от функции y = 18 + 3x - 3x^2 по переменной x.

∫(18 + 3x - 3x^2) dx

Для интегрирования данной функции можно использовать правила интегрирования для каждого слагаемого по отдельности.

∫18 dx + ∫3x dx - ∫3x^2 dx

Интегрируя каждое слагаемое, получим:

18x + (3/2)x^2 - (1/3)x^3 + C

где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, нужно найти разность значений первообразной функции на концах отрезка, на котором она ограничивает трапецию. В данном случае, отрезок находится между корнями уравнения y = 0:

18 + 3x - 3x^2 = 0

Решим это уравнение:

3x^2 - 3x - 18 = 0

x^2 - x - 6 = 0

(x - 3)(x + 2) = 0

x1 = 3, x2 = -2

Таким образом, отрезок находится между x = -2 и x = 3.

Теперь можем вычислить площадь криволинейной трапеции, используя формулу:

S = |F(b) - F(a)|,

где F(x) - первообразная функции, a и b - концы отрезка.

S = |(18(3) + (3/2)(3)^2 - (1/3)(3)^3) - (18(-2) + (3/2)(-2)^2 - (1/3)(-2)^3)|

S = |(54 + 13.5 - 9) - (-36 + 6 - 16/3)|

S = |58.5 - (-38.67)|

S = |58.5 + 38.67|

S = 97.17.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком y = 18 + 3x - 3x^2 и осью абсцисс, равна 97.17.