Question

Найти промежутки выпуклости и вогнутости у=х^4+2x^3-4

Answer 1

Y = x^4 + 2x^3 - 4
y ' = 4x^3 + 6x^2
y '' = 12x^2 + 12x = 12x(x + 1) = 0
x1 = 0; y(0) = -4
x2 = -1; y(-1) = 1 - 2 - 4 = -5
Это две точки перегиба.
При x < -1 будет y '' > 0 - выгнута вниз
При -1 < x < 0 будет y '' < 0 - выгнута вверх
При x > 0 будет y '' > 0 - выгнута вниз

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки выпуклости и вогнутости функции y = x^4 + 2x^3 - 4, нужно проанализировать знак второй производной.

Для начала найдем первую и вторую производные функции y:

y' = 4x^3 + 6x^2 y'' = 12x^2 + 12x

Затем найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

12x^2 + 12x = 0 12x(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки: x = 0 и x = -1.

Теперь проанализируем знак второй производной на интервалах (-∞, -1), (-1, 0) и (0, +∞).

Для x < -1: 12x^2 + 12x < 0 Так как коэффициенты при x^2 и x равны положительному числу, то в этом интервале вторая производная отрицательна. То есть функция y выпукла вниз на интервале (-∞, -1).

Для -1 < x < 0: 12x^2 + 12x > 0 Так как коэффициенты при x^2 и x равны положительному числу, то в этом интервале вторая производная положительна. То есть функция y вогнута вверх на интервале (-1, 0).

Для x > 0: 12x^2 + 12x > 0 Так как коэффициенты при x^2 и x равны положительному числу, то в этом интервале вторая производная положительна. То есть функция y вогнута вверх на интервале (0, +∞).

Итак, промежутки выпуклости и вогнутости функции y = x^4 + 2x^3 - 4:

-∞ < x < -1: функция выпукла вниз -1 < x < 0: функция вогнута вверх 0 < x < +∞: функция вогнута вверх