Question

Четырехугольник АВСD вписан в окружность .на продолжении диагонали BD за точку D выбрана точка F такая что AFYBC. Докажите что окружность описания около треугольника ADF касается прямой AC

Answer 1

Если окружность касается прямой в точке А (а по условию задачи касание может быть только в этой точке, так как окружность описана вокруг треугольника ADF и касается прямой АС), то угол САD -вписанный и его градусная мера равна половине градусной меры дуги AD. Вписанный угол DFA опирается на ту же дугу, то есть угол САD должен быть равен углу DFA, что и требуется доказать...
Прямая ВС параллельна AF, поэтому <AFB=<CBF как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AF и секущей BF. А <CAD=<CBD (CBF) как вписанные, опирающиеся на одну дугу CD. Следовательно, <CAD=<ABF (или <DFA, что одно и то же).
Итак, <CAD=<DFA, что и требовалось доказать.
Значит окружность, описанная вокруг треугольника ADF, касается прямой АС.
Решение в приложенном рисунке.

Answer 2

Вписанный четырехугольник и окружность

Чтобы доказать, что окружность, описанная вокруг треугольника ADF, касается прямой AC, давайте рассмотрим следующее:

1. Существование вписанного четырехугольника ABCD: - Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все вершины лежат на окружности. В данном случае, четырехугольник ABCD вписан в окружность.

2. Выбор точки F на продолжении диагонали BD: - По условию, за точку D выбрана точка F так, что AFYBC.

3. Доказательство касания окружности описанной вокруг треугольника ADF и прямой AC: - Для доказательства касания окружности описанной вокруг треугольника ADF и прямой AC, давайте рассмотрим угол ADF и угол ACB.

4. Угол ADF и угол ACB: - Угол ADF и угол ACB - вертикальные углы, и поэтому они равны. - Таким образом, угол ADF = угол ACB.

5. Доказательство касания окружности и прямой: - Если угол ADF = угол ACB, то треугольники ADF и ACB подобны. - По свойству касания окружности и прямой, касательная к окружности в точке касания является перпендикулярной к радиусу, проведенному к точке касания. Таким образом, окружность, описанная вокруг треугольника ADF, касается прямой AC.

Таким образом, окружность, описанная вокруг треугольника ADF, касается прямой AC.