Question

Знайдіть область визначення функції y = √(48+2x- x^2 ) + 4/x^(2-36)

Answer 1

{x²-2x-48≤0⇒x1+x2=2 U x1*x2=-48⇒x1=-6 U x2=8⇒-6≤x≤8
{(x-6)(x+6)≠0⇒x≠-6 U x≠6
x∈[-6;6) U (6;8]

Answer 2

Для того, чтобы найти область визначення функції \( y = \sqrt{48+2x-x^2} + \frac{4}{x^{2}-36} \), потрібно врахувати обмеження на значення \( x \), щоб уникнути ділення на нуль та взяття кореня з від'ємного числа.

Область визначення квадратного кореня

Почнемо з першої складової функції, яка містить квадратний корінь. Вираз під коренем повинен бути додатнім або нульовим, тобто: \[ 48 + 2x - x^2 \geq 0 \] Цей нерівність представляється у вигляді квадратного рівняння: \[ x^2 - 2x - 48 \leq 0 \] Для знаходження області визначення функції, потрібно знайти проміжки значень \( x \), для яких ця нерівність виконується.

Область визначення дробової складової

Друга складова містить дробовий вираз, тому потрібно врахувати обмеження на \( x \), які не дозволяють ділення на нуль. Функція \( \frac{4}{x^{2}-36} \) не визначена, коли знаменник дорівнює нулю, тобто: \[ x^{2} - 36 \neq 0 \] Це вираз дорівнює нулю, якщо \( x = 6 \) або \( x = -6 \). Таким чином, область визначення для цієї дробової складової буде усі значення \( x \), крім 6 та -6.

Загальна область визначення

Отже, область визначення функції \( y = \sqrt{48+2x-x^2} + \frac{4}{x^{2}-36} \) складається з усіх значень \( x \), які задовольняють обидві умови: 1. \( x^2 - 2x - 48 \leq 0 \) (для квадратного кореня) 2. \( x \neq 6, -6 \) (для дробової складової)

Ці умови визначають область визначення функції \( y \).