Question

Решите пожалуйста уравнение 2cos^x+3cos2x=2

Answer 1

2cos²x+3cos2x=2
2cos²x+3(2cos²x-1)=2
8cos²x=5
cos²x=5/8
cosx=+-√5/2√2
cosx=+-√10/4
1) cosx=√10/4
x=+-arccos√10/4+2πn, n€Z
2) cosx=-√10/4
x=+-(π-arccos√10/4)+2πm, m€Z
Ответ: +-(π-arccos√10/4)+2πm, m€Z; +-arccos√10/4+2πn, n€Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы сначала заменим cos^2(x) на (1 - sin^2(x)) и cos(2x) на 2cos^2(x) - 1, используя тригонометрические тождества.

Уравнение теперь будет выглядеть следующим образом:

2(1 - sin^2(x)) + 3(2cos^2(x) - 1) = 2

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2(x) + 6cos^2(x) - 3 = 2

Упростим:

6cos^2(x) - 2sin^2(x) = 3

Разделим обе части уравнения на 3:

2cos^2(x) - 2/3sin^2(x) = 1

Теперь заменим cos^2(x) на (1 - sin^2(x)):

2(1 - sin^2(x)) - 2/3sin^2(x) = 1

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2(x) - 2/3sin^2(x) = 1

Упростим:

2 - 8/3sin^2(x) = 1

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

-8/3sin^2(x) = -1

Умножим обе части уравнения на -3/8, чтобы избавиться от дроби и сделать коэффициент sin^2(x) положительным:

sin^2(x) = 3/8

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

sin(x) = ±√(3/8)

Поскольку sin(x) должен быть между -1 и 1, мы можем отбросить отрицательный корень. Таким образом, получаем:

sin(x) = √(3/8)

Теперь найдем значение sin(x) с помощью калькулятора или таблицы значений синуса. Получаем:

sin(x) ≈ 0.612

Теперь найдем значение x, используя обратную функцию синуса (арксинус):

x ≈ arcsin(0.612)

x ≈ 0.694

Таким образом, уравнение 2cos^x + 3cos2x = 2 имеет одно решение: x ≈ 0.694.