Question

найти тангенс (альфа+пи/4) если косинус 2альфа=1/3 и альфа принадлежит(0;пи/2)

Answer 1

$tg(a+\frac{\pi}{4})=\frac{tga+tg\frac{\pi}{4}}{1-tga*tg\frac{\pi}{4}}=\frac{1+tga}{1-tga};$ (1)

Теперь cos2a выразим через tga и сделав замену переменной tga = t, получим уравнение для t:

$cos2a=\frac{1-tg^2a}{1+tg^2a}=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1}{3};$

$3-3t^2=1+t^2;\ \ \ 4t^2=2;\ \ \ t=\frac{1}{\sqrt{2}}.$                   (2)

Взяли t положительным, так как в I четверти тангенс положителен.

Теперь находим искомое значение, подставив (2) в (1):

$tg(a+\frac{\pi}{4})=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}.$

 

Ответ: $3+2\sqrt{2}.$

 

 

 

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно найти значение тангенса угла альфа, если косинус 2альфа равен 1/3, а альфа принадлежит интервалу (0, π/2).

Решение:

Мы знаем, что косинус двойного угла можно выразить через косинус и синус угла альфа: cos(2α) = 1/3

Также, мы знаем, что тангенс угла можно выразить через синус и косинус угла: tg(α) = sin(α) / cos(α)

Мы можем использовать тригонометрическую формулу для нахождения синуса двойного угла: sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Теперь мы можем использовать эти формулы для решения задачи.

Решение:

1. Найдем синус угла альфа: - Используем формулу sin(2α) = 2sin(α)cos(α) и подставим значение косинуса 2α: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) sin(2α) = 2sin(α)(1/3) sin(2α) = 2/3sin(α) - Теперь мы можем выразить sin(α) через sin(2α): sin(α) = (3/2)sin(2α)

2. Найдем косинус угла альфа: - Используем формулу cos(2α) = 1/3 и подставим значение: cos(2α) = 1/3 - Теперь мы можем выразить cos(α) через cos(2α): cos(α) = ±√((1 + cos(2α))/2) Здесь мы используем ±, так как альфа принадлежит интервалу (0, π/2), и косинус положителен в этом интервале.

3. Найдем тангенс угла альфа: - Используем формулу tg(α) = sin(α) / cos(α) и подставим значения sin(α) и cos(α): tg(α) = (3/2)sin(2α) / ±√((1 + cos(2α))/2)

Теперь мы можем найти значение тангенса угла альфа, используя полученные формулы.