Question

Y = 1+(x^2)-(1/2)*x^4 Полностью исследовать функцию и построить график. Подробно рассписать

Answer 1

Для решения таких задач важно понять дифференциальные преобразования функции. Поэтому - сразу смотрим на графики в приложении, а уж потом самостоятельно построите график.   
ДАНО
Y=1+x²-x⁴/2
ИССЛЕДОВАНИЕ - лишние слова можно удалить, добавить - только по необходимости.

1.Область определения D(x). Неопределенностей типа 0/0 или ∞/∞ - нет.

- Х∈(-∞;+∞) - непрерывная. Вертикальных асимптот - нет. 

2. Пересечение с осью Х. Решаем уравнение - Y=0 и находим корни. 

$x_{1,2}=+/- \sqrt{1+ \sqrt{3} } =+/-1,65$ (примерно)

3.Интервалы знакопостоянства:

положительна (между корнями) Х∈(-1.65;1.65)

отрицательна (вне корней) - Х∈(-∞;-1.85)∪(1,65;+∞)

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 1. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = -∞ 

Горизонтальных асимптот - нет.

5. Исследование на чётность. Y(-x) = Y(x).

Функция чётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= -2*x³+2*x = -2*x*(x²-1)=-2*x*(x-1)(x+1). 

Корней - ТРИ.  Х1=-1, Х2= 0, Х3 = 1. 

Схема знаков производной.

(-∞)__(положит)__(-1)_(отрицат)__(0)_(положит)___ (1)__(отицат__ (+∞)

7. Локальные экстремумы. Максимумы – Ymax(-1) = Y(max)(1) = 3/2= 1,5.

Минимум - Ymin(0) = 1. 

8. Интервалы монотонности. 

Возрастает - Х∈(-∞;-1)∪(0;1), убывает = Х∈(-1;0)∪(1;+∞). 

9. Вторая производная - Y"(x) = -6*x²+2 = 1/3 - x². 

Корни второй производной - х1= -√3/3    x2= √3/3 -точки перегиба (≈0.58). 

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-0,58)∪(0,58;+∞),Вогнутая между корнями: Х∈(-0,58;0,58)

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;Ymax=1,5)  

11. Наклонная асимптота - нет. 

12. График в приложении.

Answer 2

Исследование функции

Дана функция: Y = 1 + x^2 - (1/2)x^4

Для начала, давайте проанализируем основные характеристики этой функции.

1. Область определения: Функция Y определена для всех значений x, так как нет никаких ограничений на x.

2. Симметрия: Функция Y является четной функцией, так как все ее члены содержат только четные степени x. Это означает, что график функции симметричен относительно оси y.

3. Точки пересечения с осями: Чтобы найти точки пересечения с осями, мы должны приравнять Y к нулю и решить уравнение. Подставляя Y = 0 в уравнение, получаем:

0 = 1 + x^2 - (1/2)x^4

Решая это уравнение, мы можем найти значения x, при которых функция пересекает ось x.

4. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Затем мы можем использовать вторую производную для определения, является ли точка экстремумом максимумом или минимумом.

5. Промежутки возрастания и убывания: Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать знак производной функции на различных интервалах.

6. Выпуклость и вогнутость: Чтобы найти точки перегиба функции, мы должны найти значения x, при которых вторая производная функции равна нулю или не существует. Затем мы можем использовать третью производную для определения, является ли точка перегиба выпуклой или вогнутой.

Построение графика

Теперь, когда мы проанализировали основные характеристики функции, давайте построим ее график.


На графике видно, что функция Y = 1 + x^2 - (1/2)x^4 является параболой, открытой вниз. Она имеет вершину в точке (0, 1) и симметрична относительно оси y. График также показывает, что функция пересекает ось x в нескольких точках и имеет экстремумы в некоторых значениях x.

Резюме

В этом исследовании функции Y = 1 + x^2 - (1/2)x^4 мы проанализировали ее основные характеристики, включая область определения, симметрию, точки пересечения с осями, экстремумы, промежутки возрастания и убывания, а также выпуклость и вогнутость. Мы также построили график функции, который помогает визуализировать ее форму и особенности.