Question

Какой вид имеет характеристическое уравнение для дифференциального уравнения y"+py'+qy=0 ?

Answer 1

Собственно говоря, как вообще получается характеристическое уравнение - -функцию у заменяем на $e^{kx}$, затем находим производные нужных порядков, выносим $e^{kx}$ как общий множитель и решаем уравнение

$y=e^{kx}$
$y'=ke^{kx}$
$y''=k^2e^{kx}$

$k^2e^{kx}+pke^{kx}+qe^{kx}=0$
$e^{kx}(k^2+pk+q)=0$

$(k^2+pk+q)=0$ - вот такой вид имеет характеристическое уравнение для дифференциального уравнения y"+py'+qy=0

Answer 2

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения y" + py' + qy = 0 имеет вид:

r^2 + pr + q = 0,

где r - неизвестная переменная.

Это квадратное уравнение относительно r, и его решения называются характеристическими корнями. Решение этого уравнения позволяет определить вид общего решения дифференциального уравнения.

В зависимости от дискриминанта D = p^2 - 4q уравнения, есть три возможных случая:

1. Если D > 0, то характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня r1 и r2. В этом случае общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Если D = 0, то характеристическое уравнение имеет один вещественный корень r. В этом случае общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = (C1 + C2x)e^(rx),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

3. Если D < 0, то характеристическое уравнение имеет два комплексных корня r1 = α + βi и r2 = α - βi, где α и β - вещественные числа, а i - мнимая единица. В этом случае общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx)),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, характеристическое уравнение позволяет определить вид общего решения дифференциального уравнения и дает информацию о поведении функции y(x) при различных значениях параметров p и q.