Question

Решить уравнение xyy'+x^2=y^2

Answer 1

Можно точно так же решить и относительно косинуса, т.е. через представление синуса.

Answer 2

Дано уравнение: xy * y' + x^2 = y^2.

Для решения данного уравнения можно использовать метод разделения переменных. Вначале перепишем уравнение в виде, удобном для дальнейших действий:

xy * y' - y^2 = -x^2.

Теперь разделим обе части уравнения на y * (xy - y):

(y * y' - y^2) / (y * (xy - y)) = -x^2 / (y * (xy - y)).

Получаем:

y' / (xy - y) = -x^2 / (y * (xy - y)).

Заметим, что числители и знаменатели обеих сторон уравнения содержат одни и те же множители, а именно (xy - y). Поэтому мы можем сократить эти множители и упростить уравнение:

y' / y = -x^2 / (y * x).

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫ y' / y dy = ∫ -x^2 / (y * x) dx.

Интегрирование левой части дает нам ln|y|, а правой - ∫ (x * x) / (y * x) dx = ∫ x / y dx.

Получаем:

ln|y| = ∫ x / y dx.

Теперь проинтегрируем ∫ x / y dx:

∫ x / y dx = ln|y| + C,

где С - постоянная интегрирования.

Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

ln|y| = ∫ x / y dx + C.

Выражение ∫ x / y dx можно проинтегрировать дальше, но оно не имеет аналитического решения в явном виде. Однако, мы можем продолжить исследование решения численными методами или применить аппроксимационные методы, если необходимо получить приближенное решение.