Question

Помогите с иррациональным уравнением Sqrt[3x+1]-Sqrt[x-1]=2

Answer 1

Sqrt(3x + 1) = 2 + sqrt(x - 1) -  обе части положительны, можно возводить в квадрат, равносильность не нарушится
3x + 1 = 4 + (x - 1) + 4sqrt(x - 1)
4sqrt(x - 1) = 2x - 2
2sqrt(x - 1) = x - 1
sqrt(x - 1) * (sqrt(x - 1) - 2) = 0
sqrt(x - 1) = 0  или  sqrt(x - 1) = 2
x = 1  или  x = 5

Answer 2

Данное уравнение является иррациональным уравнением, так как содержит иррациональные выражения в виде квадратных корней. Чтобы решить его, мы должны избавиться от иррациональных выражений и найти значения переменной x, которые удовлетворяют уравнению.

Шаг 1: Избавление от иррациональных выражений

Для начала, возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

(Sqrt[3x+1])^2 - 2 * Sqrt[3x+1] * Sqrt[x-1] + (Sqrt[x-1])^2 = 2^2

3x + 1 - 2 * Sqrt[(3x+1) * (x-1)] + x - 1 = 4

4x - 4 + 2 * Sqrt[(3x+1) * (x-1)] = 4

Шаг 2: Упрощение уравнения

Упростим уравнение, приведя подобные слагаемые и перенося все в правую часть:

4x + 2 * Sqrt[(3x+1) * (x-1)] = 8

Шаг 3: Избавление от иррационального выражения

Чтобы избавиться от иррационального выражения, возведем обе части уравнения в квадрат:

(4x + 2 * Sqrt[(3x+1) * (x-1)])^2 = 8^2

16x^2 + 16x * Sqrt[(3x+1) * (x-1)] + 4 * (3x+1) * (x-1) = 64

Шаг 4: Упрощение уравнения

Упростим уравнение и приведем подобные слагаемые:

16x^2 + 16x * Sqrt[(3x+1) * (x-1)] + 12x^2 - 12 = 64

28x^2 + 16x * Sqrt[(3x+1) * (x-1)] - 76 = 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной x. Чтобы решить его, можно воспользоваться квадратным корнем или факторизацией. Давайте воспользуемся квадратным корнем:

x = (-b ± Sqrt[b^2 - 4ac]) / (2a)

Где a = 28, b = 16 * Sqrt[(3x+1) * (x-1)] и c = -76.

Шаг 6: Нахождение корней

Выражение b^2 - 4ac называется дискриминантом. Если дискриминант больше нуля, то у уравнения есть два различных действительных корня. Если дискриминант равен нулю, то у уравнения есть один действительный корень. Если дискриминант меньше нуля, то у уравнения нет действительных корней.

Давайте решим уравнение численно, используя метод Ньютона.