Question

Помогите, пожалуйста, решить. Желательно с подробным решением.1)Найдите промежуток убывания функции y=9+x^2 (решить)2)решите уравнение 2sinx=√23)Найдите cos α, если sin α = 0,8; 0<α<П/24)Упростите выражение: 1-2sin^2 α /cos^2α5)Решите уравнение 2cosx-1=06)Вычислите: cos П + sin П7)Упростите выражение: 1 - cos^2α +sin^2α

Answer 1

1)Найдите промежуток убывания функции y=9+x^2  - квадратичная функция убывает до абсциссы вершины параболы т.е. на промежутке (-~;0)
2)решите уравнение 2sinx=√2; sinx=k(2)/2; x=(-1)^k*П/4+Пk
3)Найдите cos α, если sin α = 0,8; 0<α<П/2 sinα=K(1-cos^2(α))=K(1-0,64)=K(0,36)=0,6
4)Упростите выражение: (1-2sin^2 α)/cos^2α=(cosα-sinα)^2/(cos^2α-sin^2α)=
(cosα-sinα)^2/((cosα-sinα)(cosα+sinα))=(cosα-sinα)/(cosα+sinα)
5)Решите уравнение 2cosx-1=0; 2cosx=1;cosx=1/2; x=(+-)П/3+2Пn
6)Вычислите: cos П + sin П=-1+0=-1
7)Упростите выражение: 1 - cos^2α +sin^2α=sin^2α+sin^2α=2sin^2α

Answer 2

1) Найдите промежуток убывания функции y = 9 + x^2

Для определения промежутка убывания функции, необходимо найти ее производную и проанализировать знак производной.

Производная функции y = 9 + x^2 можно найти, взяв производную от каждого слагаемого по отдельности. Поскольку производная постоянной равна нулю, остается только производная от x^2:

y' = 2x

Знак производной показывает направление изменения функции. Если производная положительна, то функция возрастает, если производная отрицательна, то функция убывает.

Для определения промежутка убывания, нужно решить неравенство:

2x < 0

Решая это неравенство, получаем:

x < 0

Таким образом, промежуток убывания функции y = 9 + x^2 - это все значения x, меньшие нуля.

Ответ: Промежуток убывания функции y = 9 + x^2: x < 0

2) Решите уравнение 2sin(x) = √2

Чтобы решить это уравнение, нужно изолировать переменную sin(x). Для этого разделим обе части уравнения на 2:

sin(x) = √(2/2)

Упрощая, получаем:

sin(x) = 1

Теперь, чтобы найти значения x, при которых sin(x) равен 1, мы можем использовать обратную функцию синуса (арксинус).

x = arcsin(1)

Значение арксинуса 1 равно π/2, так как sin(π/2) = 1.

Таким образом, решением уравнения 2sin(x) = √2 является:

x = π/2

Ответ: x = π/2

3) Найдите cos α, если sin α = 0.8; 0 < α < π/2

Мы знаем, что sin α = 0.8. Используя тригонометрическую тождество sin^2 α + cos^2 α = 1, мы можем найти cos α.

Подставим значение sin α в это тождество:

0.8^2 + cos^2 α = 1

Решим это уравнение для cos α:

0.64 + cos^2 α = 1

cos^2 α = 1 - 0.64

cos^2 α = 0.36

cos α = ±√0.36

Так как 0 < α < π/2, то cos α > 0. Поэтому, мы можем выбрать только положительное значение:

cos α = √0.36

cos α = 0.6

Ответ: cos α = 0.6

4) Упростите выражение: 1 - 2sin^2 α / cos^2 α

Для упрощения этого выражения, мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2 α + cos^2 α = 1.

Подставим это тождество в выражение:

1 - 2(sin^2 α / cos^2 α)

Заменим sin^2 α на 1 - cos^2 α:

1 - 2((1 - cos^2 α) / cos^2 α)

Раскроем скобки:

1 - 2/cos^2 α + 2cos^2 α / cos^2 α

Общий знаменатель:

1 - 2 + 2cos^2 α / cos^2 α

Упростим числитель:

-1 + 2cos^2 α / cos^2 α

Сократим дробь:

-1 + 2

Таким образом, упрощенное выражение равно:

1

Ответ: 1

5) Решите уравнение 2cos(x) - 1 = 0

Для решения этого уравнения, нужно изолировать переменную cos(x). Добавим 1 к обеим частям уравнения:

2cos(x) = 1

Теперь разделим обе части на 2:

cos(x) = 1/2

Чтобы найти значения x, при которых cos(x) равен 1/2, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус).

x = arccos(1/2)

Значение арккосинуса 1/2 равно π/3.

Таким образом, решением уравнения 2cos(x) - 1 = 0 является:

x = π/3

Ответ: x = π/3

6) Вычислите: cos(π) + sin(π)

Для вычисления cos(π) и sin(π) мы можем использовать значения косинуса и синуса для угла π.

cos(π) = -1 sin(π) = 0

Подставим эти значения в выражение:

cos(π) + sin(π) = -1 + 0 = -1

Ответ: cos(π) + sin(π) = -1

7) Упростите выражение: 1 - cos^2 α + sin^2 α

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2 α + cos^2 α = 1 для упрощения этого выражения.

Заменим sin^2 α + cos^2 α на 1:

1 - cos^2 α + sin^2 α = 1 - cos^2 α + 1 = 2 - cos^2 α

Ответ: 2 - cos^2 α