Question

Вычислить систему 3x+2y+z=5 2x+3y+z=1 2x+y+3z=11

Answer 1

  Забыл как решать такую систему по школьной программе, решу по вузовской.
А именно методом крамера:
 Попытаюсь объяснить поподробней. Система имеет три неизвестных переменных, нам то и придется их найти(x,y,z-?). 
 1) Найдем определитель главной матрицы, главная матрица это как бы все значения находящиеся слева от знака "=" , запишем матрицу три на три без переменных. 
|3x+2y+1z|     |3 2 1|
|2x+3y+1z| =  |2 3 1|
|2x+1y+3z|     |2 1 3|
    Находим определитель методом треугольников,(расписывать не буду можно прочитать и узнать о ней) обозначу заранее определитель за букву D(дельта)
D= (3*3*3)+(2*1*1)+(2*2*1)-(2*3*1)-(1*1*3)-(3*2*2)=27+2+4-6-3-12=33-21=12
 2)То что было справа от знака = , а именно 5,1 и 11, этот столбец заменим на первый столбец главной матрицы, получим 
|5   2 1| Теперь таким же способом найдём D1
|1   3 1|   D1=(5*3*3)+(1*1*1)+(11*2*1)-(11*3*1)-(1*1*5)-(3*2*1)=45+1+22-33-5-6=68-44=
|11 1 3|       =24
   3)Расписывать не буду так очень долго, D2 и D3 находятся таким же способом
D2= .......=-2
D3=........=3
4)Главное, находим x,y,z. Забыл до этого написать, d1 было найдено для х, d2 для y, d3 для z.
 Отсюда x= D1/D=24/12=2
              y=D2/D=-24/12=-2
              z=D3/D=36/12=3
Проверка: Подставим в первое уравнение
3x+2y+z=5
3*2+2*(-2)+3=5
6-4+3=5
5=5 ч.т.д

Answer 2

Для решения этой системы линейных уравнений можно воспользоваться методом Гаусса или методом Крамера. Давайте воспользуемся методом Крамера, который позволяет найти значения переменных, используя определители матриц.

Метод Крамера для решения системы линейных уравнений

Метод Крамера основан на использовании определителей матриц. Для системы из трех уравнений и трех неизвестных, общее решение можно найти следующим образом:

1. Найдем определитель основной матрицы системы (D). 2. Затем, чтобы найти значение каждой переменной (x, y, z), мы заменяем соответствующий столбец коэффициентов при переменной на столбец свободных членов и находим определитель этой новой матрицы. 3. Значение каждой переменной равно отношению определителя этой новой матрицы к основному определителю.

Решение

Давайте найдем определитель основной матрицы (D) и определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца на столбец свободных членов.

1. Определитель основной матрицы (D): ``` | 3 2 1 | | 2 3 1 | | 2 1 3 | ``` D = 3 * (3*3 - 1*1) - 2 * (2*3 - 1*1) + 2 * (2*1 - 3*1) D = 3 * (9 - 1) - 2 * (6 - 1) + 2 * (2 - 3) D = 3 * 8 - 2 * 5 + 2 * (-1) D = 24 - 10 - 2 D = 12

2. Определители матриц для x, y, z: - Определитель матрицы, полученной заменой столбца при x на столбец свободных членов (Dx): ``` | 5 2 1 | | 1 3 1 | | 11 1 3 | ``` Dx = 5 * (3*3 - 1*1) - 2 * (1*3 - 1*11) + 1 * (1*1 - 3*11) Dx = 5 * (9 - 1) - 2 * (3 - 11) + 1 * (1 - 33) Dx = 5 * 8 - 2 * (-8) + 1 * (-32) Dx = 40 + 16 - 32 Dx = 24

- Определитель матрицы, полученной заменой столбца при y на столбец свободных членов (Dy): ``` | 3 5 1 | | 2 1 1 | | 2 11 3 | ``` Dy = 3 * (1*3 - 1*11) - 5 * (2*3 - 1*2) + 1 * (2*11 - 3*2) Dy = 3 * (3 - 11) - 5 * (6 - 2) + 1 * (22 - 6) Dy = 3 * (-8) - 5 * 4 + 1 * 16 Dy = -24 - 20 + 16 Dy = -28

- Определитель матрицы, полученной заменой столбца при z на столбец свободных членов (Dz): ``` | 3 2 5 | | 2 3 1 | | 2 1 11 | ``` Dz = 3 * (3*11 - 1*1) -