Question

Помогите решить пожалуйста Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y= x^{2} +5x+6 в точке x_{0} =-1

Answer 1

Уравнение касательной:
$y= y_{0} +y'( x_{0} )(x- x_{0} )$
$y'=2x+5$
$y_{0} =y(-1)=(-1)^2+5*(-1)+6=2$
$y'(-1)=2*(-1)+5=3$
Подставляем данные в формулу:
$y_{k} =2+3(x+1)=3x+5$

Уравнение нормали:
$y_{n} = y_{0} - \frac{1}{y'( x_{0}) } (x- x_{0} )$
$y_{n} =2- \frac{1}{3}(x+1)=2- \frac{x}{3} - \frac{1}{3} =2- \frac{x-1}{3} = -\frac{x+5}{3}$

Answer 2

Уравнения касательной и нормали к графику функции y = x^2 + 5x + 6 в точке x_0 = -1

Для того чтобы найти уравнения касательной и нормали к графику функции y = x^2 + 5x + 6 в точке x_0 = -1, мы можем использовать производные.

Нахождение производной функции

Сначала найдем производную функции y = x^2 + 5x + 6. Производная функции покажет нам наклон касательной к графику функции в заданной точке.

Производная функции y = x^2 + 5x + 6: ``` y' = 2x + 5 ```

Нахождение уравнения касательной

1. Найдем значение производной в точке x_0 = -1: ``` y'(-1) = 2*(-1) + 5 = 3 ```

2. Теперь, используя найденное значение производной и точку (-1, f(-1)) на графике функции, мы можем найти уравнение касательной. Уравнение касательной имеет вид: ``` y - f(-1) = y'(-1) * (x - (-1)) ``` Подставляя f(-1) = (-1)^2 + 5*(-1) + 6 = 0 в уравнение, получаем: ``` y = 3x + 3 ```

Нахождение уравнения нормали

Уравнение нормали к графику функции в точке x_0 = -1 перпендикулярно уравнению касательной и проходит через ту же точку.

1. Угловой коэффициент нормали будет равен отрицательной обратной величине углового коэффициента касательной: ``` k_н = -1 / k_к = -1 / 3 ```

2. Теперь, используя найденный угловой коэффициент нормали и точку (-1, f(-1)) на графике функции, мы можем найти уравнение нормали. Уравнение нормали имеет вид: ``` y - f(-1) = k_н * (x - (-1)) ``` Подставляя f(-1) = 0 в уравнение, получаем: ``` y = -1/3 * x + 1/3 ```

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^2 + 5x + 6 в точке x_0 = -1: y = 3x + 3, а уравнение нормали: y = -1/3 * x + 1/3.