Question

Предполагая, что объём ствола дерева пропорционален кубу его диаметра и что последний равномерно увеличивается из года в год, показать, что скорость роста объёма, когда диаметр равен 90 см, в 25 раз больше скорости, когда диаметр равен 18 см.

Answer 1

Если Вам известны производные, то эта задача решается следующим образом.
Пусть х - диаметр дерева, тогда объем его ствола V=kx^3, где к - коэффициент пропорциональности.
Скорость роста объема - это производная dV/dx = 3kx^2.
Отсюда следует, что
при х=90 dV/dx=3к*90^2 = 3k*8100,
а при х=18 dV/dx=3к*18^2 = 3k*324.
Отношение скоростей роста 8100/324=25, что и требовалось доказать. 

Answer 2

Предположим, что объем ствола дерева V пропорционален кубу его диаметра D:

V = k * D^3

где k - постоянный коэффициент пропорциональности.

Также предположим, что диаметр дерева увеличивается равномерно из года в год. Пусть D1 и D2 - диаметры дерева в два разных года, а V1 и V2 - соответствующие объемы стволов дерева.

Тогда имеем:

V1 = k * D1^3

V2 = k * D2^3

По условию задачи, скорость роста объема V при диаметре D1 = 90 см равна 25 раз больше скорости роста объема V при диаметре D2 = 18 см:

(V1 - V0) / (D1 - D0) = 25 * (V2 - V0) / (D2 - D0)

где V0 - объем ствола дерева при диаметре D0 (произвольное значение).

Подставляя значения V1, V2, D1 и D2 в это уравнение, получаем:

(k * D1^3 - k * D0^3) / (D1 - D0) = 25 * (k * D2^3 - k * D0^3) / (D2 - D0)

Упрощаем выражение, деля на k и сокращая общие множители:

(D1^3 - D0^3) / (D1 - D0) = 25 * (D2^3 - D0^3) / (D2 - D0)

Подставляем значения D1 = 90 см и D2 = 18 см:

(90^3 - D0^3) / (90 - D0) = 25 * (18^3 - D0^3) / (18 - D0)

Упрощаем выражение:

(729000 - D0^3) / (90 - D0) = 25 * (5832 - D0^3) / (18 - D0)

Раскрываем скобки и упрощаем:

729000 - D0^3 = 25 * 5832 - 25 * D0^3

729000 - D0^3 = 145800 - 25 * D0^3

24 * D0^3 = 729000 - 145800

24 * D0^3 = 583200

D0^3 = 583200 / 24

D0^3 = 24300

D0 ≈ 28.5 см

Таким образом, когда диаметр равен 28.5 см, скорость роста объема будет 25 раз больше, чем при диаметре 18 см.