Question

ППППППППППППППЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛИИИИИИИИИИИИИИИИИИИЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Answer 1

 Пусть АВС и КВС - смеженые углы. ВЕ - биссектрисса угла АВС, ВР - биссектриса угла КВС.

угол ЕВС=1\2*угол АВС

угол РВС=1\2*угол КВС

 

по свойству смеженый углов

угол АВС+угол КВС=180 градусов

 

отсюда угол между биссетрисами:

угол ЕВР = угол ЕВС+угол РВС=1\2*угол АВс+1\2*угол КВС=1\2*(угол АВС+угол КВС)=

=1\2*180 градусов=90 градусов

что и требовалось доказать

Answer 2

Чтобы доказать, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойствами биссектрисы и свойствами перпендикулярных прямых.

Пусть у нас есть два смежных угла, обозначим их как ∠ABC и ∠CBD, а их биссектрисы обозначим как BD и BE соответственно.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. По свойствам биссектрисы, точка D находится на биссектрисе угла ∠ABC, а значит, делит сторону AC на две равные части. То есть, AD=DC.

Аналогично, по свойствам биссектрисы, точка E находится на биссектрисе угла ∠CBD и делит сторону CB на две равные части. То есть, EB=ED.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. У нас есть две равные стороны: AD=DC и AB=BC (по определению смежных углов). Кроме того, мы знаем, что угол ABD равен углу CBD, так как BD является биссектрисой этого угла.

Из этих равенств и свойств треугольника ABD мы можем сделать следующие выводы:

1. Треугольник ABD равнобедренный, так как AB=BC и AD=DC. 2. Углы ABD и ADB равны, так как они являются углами при равных сторонах.

Теперь давайте рассмотрим треугольник EBD. У нас также есть две равные стороны: EB=ED и BD=BD (по определению биссектрисы). Кроме того, угол EBD равен углу ABD, так как они являются вертикальными углами.

Из этих равенств и свойств треугольника EBD мы можем сделать следующие выводы:

1. Треугольник EBD равнобедренный, так как EB=ED и BD=BD. 2. Углы EBD и EDB равны, так как они являются углами при равных сторонах.

Итак, мы доказали, что треугольники ABD и EBD являются равнобедренными. А значит, их биссектрисы BD и BE являются высотами этих треугольников.

Из свойств равнобедренных треугольников следует, что высоты этих треугольников взаимно перпендикулярны. То есть, биссектрисы смежных углов ∠ABC и ∠CBD взаимно перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.