Question

Найдите наименьшее значение функции y=7x-7tgx+5 на отрезке [-пи/4;0]

Answer 1

$y=7x-7tgx+5\\ y'=7- \frac{7}{cos^2x} \\ 7- \frac{7}{cos^2x}=0\\ cosx \neq 0, \\ x \neq \frac{ \pi }{2}+ \pi k, k in Z\\ 7cos^2x-7=0\\ cos^2x=1\\ cosx= \pm \sqrt{1}\\ cosx = 1\\ x=2 \pi n, n \in Z\\ n=0 \rightarrow x=0;\\ n=1 \rightarrow x=2 \pi \notin [- \frac{ \pi }{4};0 ]\\ n=-1 \rightarrow x=-2 \pi \notin [- \frac{ \pi }{4};0 ]\\ cosx=-1\\ x= \pi +2 \pi m, m \in Z\\ m=0 \rightarrow x= \pi \notin [- \frac{ \pi }{4};0 ]\\ m=-1 \rightarrow x= \pi-2 \pi =- \pi \notin [- \frac{ \pi }{4};0 ]$
Теперь проверяем значение на концах промежутка:
$y(0)=7*0-7tg0+5=5\\ y(- \frac{ \pi }{4} )=7*(-\frac{ \pi }{4} )-7*tg(-\frac{ \pi }{4} )+5=- \frac{7 \pi }{4} +12$
Наименьшее значение 
y(0)=5

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = 7x - 7tg(x) + 5 на отрезке [-π/4; 0] нужно найти критические точки функции в этом интервале и сравнить значения функции в этих точках.

1. Найдем критические точки функции y = 7x - 7tg(x) + 5 на отрезке [-π/4; 0]. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = 7 - 7sec^2(x) = 0

sec^2(x) = 1

sec(x) = ±1

sec(x) = 1 при x = 0

sec(x) = -1 при x = -π/4

2. Найдем значения функции в найденных критических точках:

y(0) = 7(0) - 7tg(0) + 5 = 5

y(-π/4) = 7(-π/4) - 7tg(-π/4) + 5 = -7π/4 + 7 + 5 = -7π/4 + 12

3. Сравним значения функции в найденных критических точках:

5 < -7π/4 + 12

Таким образом, наименьшее значение функции y = 7x - 7tg(x) + 5 на отрезке [-π/4; 0] равно -7π/4 + 12.