Question

Четыре числа образуют возрастающую геометрическую прогрессии, в которой сумма крайних членов равна 64, а произведение средних членов 960. найдите большее из этих чисел

Answer 1

Так как геометрическая прогрессия состоит из 4 членов, мы получаем: b1, b2, b3, b4. Прогрессия возрастающая, и наибольший член - b4. 
b1 + b4 = b1 + b1*q^3 = 64 
b2 * b3 = b1*q * b1*q^2 = b1* b1*q^3 = 960.
Выходит:
b1*q^3 = 64 - b1, значит здесь q^3 = (64 - b1) / b1 
b1 * (64 - b1) = 960. 
Из этого получаем квадратное уравнение.
b1^2 - 64b1 + 960 = 0 
D = 64^2 - 4*960 = 4096 - 3840 = 256. 
b1(1) = (64 + 16) / 2 = 40, q^3 = (64 - 40)/40 = 24/40. не подходит, т.к q меньше 0 будет.
b1(2) = (64 - 16) / 2 = 24, q^3 = (64 - 24) / 24 = 40/24. Ничего не меняем, так и оставляем.
В итоге:
b1 = 40.
Самое большое число b4 = b1 * q^3 = 24 * 40/24 = 40.
Ответ: 40.

Answer 2

Пусть четыре числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию, и их значения будут a, ar, ar^2 и ar^3, где a - первый член прогрессии, а r - ее знаменатель.

Тогда сумма крайних членов равна a + ar^3 = 64, а произведение средних членов равно (ar)(ar^2) = 960.

Мы можем использовать эти два уравнения для нахождения значений a и r.

Из первого уравнения получаем a(1 + r^3) = 64. Из второго уравнения получаем a^2r^3 = 960.

Делим второе уравнение на первое, получаем (a^2r^3)/(a(1 + r^3)) = 960/64. Упрощаем выражение, получаем ar^2/(1 + r^3) = 15.

Мы знаем, что ar^2/(1 + r^3) = 15, поэтому a = 15(1 + r^3)/r^2.

Подставляем это выражение для a в первое уравнение: (15(1 + r^3)/r^2)(1 + r^3) = 64. Упрощаем выражение, получаем 15(1 + r^3)^2/r^2 = 64. Раскрываем квадрат и упрощаем, получаем 15(1 + 2r^3 + r^6)/r^2 = 64. Умножаем обе части уравнения на r^2 и упрощаем, получаем 15 + 30r^3 + 15r^6 = 64r^2. Переносим все члены в левую часть уравнения, получаем 15r^6 + 30r^3 - 64r^2 + 15 = 0.

Это уравнение шестой степени, и его решение может быть достаточно сложным. Однако, мы знаем, что одно из чисел должно быть больше других. Так как числа образуют возрастающую прогрессию, то наибольшее число должно быть ar^3.

Мы можем использовать метод подстановки, чтобы найти значение r и a.

Попробуем r = 2. Подставляем это значение в уравнение 15r^6 + 30r^3 - 64r^2 + 15 = 0. Получаем 15(64) + 30(8) - 64(4) + 15 = 0. Упрощаем выражение, получаем 960 + 240 - 256 + 15 = 0. Таким образом, при r = 2 уравнение не выполняется.

Попробуем другие значения r и продолжим подстановку, пока не найдем значение, при котором уравнение выполняется.

Таким образом, наибольшее из четырех чисел равно ar^3, где a = 15(1 + r^3)/r^2, а r - корень уравнения 15r^6 + 30r^3 - 64r^2 + 15 = 0.