Question

Даны координаты вершин треугольника abc A(3;0); B(5;10); C(13;6). Найти уравнения 1) сторон данного треугольника; 2)высоты CD; 3)медианы AE; 4)окружности, для которой медиана AE служит диаметром; 5) внутренний угол А; 6)прямой, проходящей через вершину В параллельно АС.

Answer 1

/Ответ: уравнение стороны AC: y= 7х    _  6
                                               -            -
                                               5           5

Answer 2

Уравнения сторон треугольника

Для нахождения уравнений сторон треугольника ABC, можно использовать формулу длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат:

Уравнение стороны AB: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

где (x₁, y₁) - координаты точки A, (x₂, y₂) - координаты точки B.

Применяя эту формулу к нашему треугольнику, получим:

Сторона AB: AB = √((5 - 3)² + (10 - 0)²) = √(2² + 10²) = √4 + 100 = √104

Сторона BC: BC = √((13 - 5)² + (6 - 10)²) = √(8² + (-4)²) = √64 + 16 = √80

Сторона CA: CA = √((13 - 3)² + (6 - 0)²) = √(10² + 6²) = √100 + 36 = √136

Высота CD

Высота CD является перпендикуляром, опущенным из вершины C на сторону AB. Чтобы найти уравнение высоты CD, нужно найти уравнение прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной стороне AB.

Для этого воспользуемся уравнением прямой в общем виде:

Уравнение прямой: Ax + By + C = 0

где A, B и C - коэффициенты, которые мы должны найти.

Найдем угловой коэффициент прямой AB:

Угловой коэффициент: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

где (x₁, y₁) - координаты точки A, (x₂, y₂) - координаты точки B.

Угловой коэффициент прямой AB: m = (10 - 0) / (5 - 3) = 10 / 2 = 5

Так как высота CD перпендикулярна стороне AB, то угловой коэффициент прямой CD будет обратным и с противоположным знаком:

m_CD = -1 / m = -1 / 5

Теперь нужно найти уравнение прямой CD, подставив известные координаты точки C:

Уравнение прямой CD: y - y₀ = m_CD(x - x₀)

где (x₀, y₀) - координаты точки C.

Подставим значения: y - 6 = -1/5(x - 13)

Упростим это уравнение: 5(y - 6) = -1(x - 13) 5y - 30 = -x + 13 x + 5y = 43

Таким образом, уравнение высоты CD: x + 5y = 43.

Медиана AE

Медиана AE - это отрезок, соединяющий вершину A и середину стороны BC. Чтобы найти уравнение медианы AE, нужно найти координаты середины стороны BC и применить уравнение прямой.

Для нахождения координат середины стороны BC, можно использовать формулы средней точки:

Формула средней точки: x_m = (x₁ + x₂) / 2 y_m = (y₁ + y₂) / 2

где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты концов отрезка.

Вычислим координаты середины стороны BC:

x_m = (5 + 13) / 2 = 18 / 2 = 9 y_m = (10 + 6) / 2 = 16 / 2 = 8

Теперь нужно найти уравнение прямой AE, подставив известные координаты точки A и середины стороны BC:

Уравнение прямой AE: y - y₀ = m(x - x₀)

где (x₀, y₀) - координаты середины стороны BC.

Подставим значения: y - 0 = (8 - 0) / (9 - 3)(x - 3)

Упростим это уравнение: y = (8/6)(x - 3) y = (4/3)x - 4

Таким образом, уравнение медианы AE: y = (4/3)x - 4.

Окружность с медианой AE в качестве диаметра

Чтобы найти уравнение окружности, для которой медиана AE служит диаметром, нужно найти центр окружности и ее радиус.

Центр окружности будет находиться в середине медианы AE, поэтому координаты центра окружности будут совпадать с координатами середины стороны BC: (9, 8).

Радиус окружности будет равен половине длины медианы AE. Для этого нужно найти длину медианы AE, а затем разделить ее на 2.

Длина медианы AE: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

где (x₁, y₁) - координаты точки A, (x₂, y₂) - координаты точки E (середина стороны BC).

Вычислим длину медианы AE: AE = √((9 - 3)² + (8 - 0)²) = √(6² + 8²) = √36 + 64 = √100 = 10

Радиус окружности: r = AE / 2 = 10 / 2 = 5

Теперь можем записать уравнение окружности:

Уравнение окружности: (x - h)² + (y - k)² = r²

где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Подставим значения: (x - 9)² + (y - 8)² = 5² (x - 9)² + (y - 8)² = 25

Таким образом, уравнение окружности, для которой медиана AE служит диаметром: (x - 9)² + (y - 8)² = 25.

Внутренний угол А

Чтобы найти внутренний угол А, можно воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя векторами:

Формула для нахождения угла между двумя векторами: cos(θ) = (a · b) / (||a|| ||b||)

где a и b - векторы, ||a|| и ||b|| - их длины.

Векторы AB и AC можно представить в виде:

AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) AC = (x₃ - x₁, y₃ - y₁)

где (x₁, y₁) - координаты точки A, (x₂, y