Question

Докажите что четырехугольник авсд с вершинами в точках А(2;-2), В(1;2) , С(-3;1), Д(-2;-3) является прямоугольником

Answer 1

Свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.
Найдем длину диагоналей АС и ВД, если АС=ВД, то это прямоугольник.
АС=√(-3-2)²+(1-(-2))²=√(-5)²+3²=√(25+9)=√34
ВД=√(-2-1)²+(-3-2)²=√(-3)²+(-5)²=√(9+25)=√34, ⇒ четырехугольник АВСД - прямоугольник.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нам необходимо убедиться, что его диагонали перпендикулярны друг другу. Для этого мы можем воспользоваться свойством прямоугольника, которое гласит, что диагонали прямоугольника перпендикулярны и равны между собой наполовину.

Для начала найдем координаты вершин диагоналей. Пусть точки M и N - середины сторон AC и BD соответственно.

Координаты точки M: x = (x1 + x3) / 2 = (2 - 3) / 2 = -0.5 y = (y1 + y3) / 2 = (-2 + 1) / 2 = -0.5 Таким образом, координаты точки M равны (-0.5, -0.5).

Координаты точки N: x = (x2 + x4) / 2 = (1 - 2) / 2 = -0.5 y = (y2 + y4) / 2 = (2 - 3) / 2 = -0.5 Таким образом, координаты точки N также равны (-0.5, -0.5).

Мы видим, что координаты точек M и N равны, что означает, что диагонали пересекаются в точке (-0.5, -0.5).

Теперь найдем координаты векторов, образованных диагоналями AC и BD:

Вектор AC: (x3 - x1, y3 - y1) = (-3 - 2, 1 - (-2)) = (-5, 3) Вектор BD: (x4 - x2, y4 - y2) = (-2 - 1, -3 - 2) = (-3, -5)

Теперь убедимся, что скалярное произведение этих векторов равно 0, что доказывает их перпендикулярность:

AC * BD = (-5)*(-3) + 3*(-5) = 15 - 15 = 0

Таким образом, поскольку диагонали пересекаются в точке (-0.5, -0.5) и их векторы перпендикулярны, мы можем заключить, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(2,-2), B(1,2), C(-3,1), D(-2,-3) является прямоугольником.