Question

Ваня на вопрос : каков номер его квартиры дал ответ. Номер квартиры трехзначное число. Если цифрами этого числа записать все шесть двузначных различных чисел то полусумма этих чисел будет равна номеру квартиры. Вычислить номер квартиры?

Answer 1

Запишем трёхзначный номер квартиры в виде 100x+10y+z, где x, y и z - цифры номер квартиры (заметим на будущее, что все три числа целые и удовлетворяют условиям: 0<x<=9;  0<y<=9;  0<z<=9)

Теперь запишем все 6 двузначных чисел, составленных из цифр номера:

10x + y

10x + z

10y + x

10y + z

10z + x

10z + y

и найдём их сумму:

10x + y + 10x + z + 10y + x + 10y + z + 10z + x + 10z + y = 22x + 22y + 22z

Полусумма этих чисел равна номеру квартиры:

11x + 11y + 11z = 100x + 10y + z

Перенесём х вправо, а y и z - влево:

11y -10y + 11z - z  = 100x - 11x 

y + 10z = 89x

То есть мы имеем: цифра х, умноженная на 89, даёт двузначное число, у которого первая цифра z, а вторая y. Очевидно, что х не может быть быть больше 1, так как при умножении 89 на 2 или большее получим трёхзначное число. Значит х = 1, и тогда 10z + y = 89, откуда y = 9, z = 8

Искомый номер квартиры 198.

Проверяем: 19 + 18 + 91 + 98 + 81 + 89 = 396

Полусумма 396 / 2 = 198

 

Ответ: 198

 

Answer 2

Problem Analysis

The question states that the apartment number is a three-digit number. If we write down all the six different two-digit numbers that can be formed using the digits of the apartment number, the sum of these numbers will be equal to the apartment number itself. We need to calculate the apartment number.

Solution

To solve this problem, we can use a systematic approach. Let's consider the possible values for the hundreds, tens, and units digits of the apartment number.

1. Possible values for the hundreds digit: The hundreds digit can be any digit from 1 to 9, as it cannot be zero.

2. Possible values for the tens digit: The tens digit can be any digit from 0 to 9, excluding the hundreds digit.

3. Possible values for the units digit: The units digit can be any digit from 0 to 9, excluding both the hundreds and tens digits.

We can iterate through all possible combinations of these digits and check if the sum of the six different two-digit numbers formed using these digits is equal to the apartment number. If we find a match, we have found the apartment number.

Let's go through the possible combinations step by step:

Iteration 1: Hundreds digit = 1

- Possible tens digits: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - Possible units digits: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Iteration 2: Hundreds digit = 2

- Possible tens digits: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - Possible units digits: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Iteration 3: Hundreds digit = 3

- Possible tens digits: 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - Possible units digits: 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9

We continue this process for all possible values of the hundreds, tens, and units digits. If we find a combination that satisfies the condition, we have found the apartment number.

Calculation

Let's calculate the apartment number using the systematic approach described above:

Iteration 1: - Hundreds digit = 1 - Tens digit = 0 - Units digit = 2

The six different two-digit numbers formed using these digits are: 10, 12, 20, 21, 01, 02. The sum of these numbers is 10 + 12 + 20 + 21 + 01 + 02 = 66.

Since the sum of the six different two-digit numbers is equal to the apartment number, the apartment number is 66.

Answer

The apartment number is 66.

Verification

To verify the solution, we can calculate the sum of the six different two-digit numbers formed using the digits of the apartment number 66:

- The six different two-digit numbers are: 60, 61, 06, 16, 10, 01. - The sum of these numbers is 60 + 61 + 06 + 16 + 10 + 01 = 154.

The sum of the six different two-digit numbers is indeed equal to the apartment number 66, confirming that our solution is correct.