Question

Вычислить интеграл (x^2+1)/(x^2+4)

Answer 1

Int (x^2 + 1)/(x^2 + 4) dx = Int (1 - 3/(x^2 + 4)) dx = x - 3/2*arctg(x/2) + C

Answer 2

Для вычисления интеграла (x^2+1)/(x^2+4) мы можем воспользоваться методом частичных дробей.

Сначала разложим дробь на простые дроби:

(x^2+1)/(x^2+4) = A*x + B + (Cx+D)/(x^2+4)

Умножим обе части уравнения на (x^2+4), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

x^2+1 = (A*x + B)*(x^2+4) + Cx+D

Раскроем скобки и сгруппируем одинаковые степени x:

x^2+1 = A*x^3 + 4A*x + B*x^2 + 4B + Cx + D

Теперь можно сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x:

1) A = 0 (коэффициент при x^3) 2) B = 1 (коэффициент при x^2) 3) 4A + C = 0 (коэффициент при x) 4) 4B + D = 1 (свободный член)

Из уравнений (1) и (2) получаем, что A = 0 и B = 1. Подставим их в уравнения (3) и (4):

4*0 + C = 0 4*1 + D = 1

Откуда следует, что C = 0 и D = 1.

Теперь мы можем представить исходную дробь в виде суммы простых дробей:

(x^2+1)/(x^2+4) = x + 1 - (x/(x^2+4))

Теперь мы можем вычислить интеграл:

∫(x^2+1)/(x^2+4) dx = ∫(x + 1 - (x/(x^2+4))) dx = ∫x dx + ∫1 dx - ∫(x/(x^2+4)) dx = (1/2)x^2 + x - ln|x^2+4| + C

Где C - произвольная постоянная. Таким образом, интеграл (x^2+1)/(x^2+4) равен (1/2)x^2 + x - ln|x^2+4| + C.