Question

Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны .

Answer 1

От обратного

Пусть есть плоскость альфа и перпендикулярная ей плоскость бета

Есть некая прямая а тоже перпендикулярная бете (пересечение в точке В1)

а не пренадлежит альфе

 

Пусть а пересекается с альфой в точке А1 (ну т.е. не паралельны)

Тогда из этой точки можно опустить перпендикулярную прямую на бету (пересечение в точке В2)

прямая В1В2 принадлежит бете и потому перпендикулярна одновременно прямым а и А1В2

по какойто там теореме - если две прямые перпендикулярны третей, то они паралельны

а || A1B2 и потому не могут пересекаться

Противоречие

Доказано

Answer 2

Для доказательства того, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны, можно воспользоваться следующим рассуждением.

Пусть дана плоскость P и прямая l, которая не лежит в плоскости P. Предположим, что прямая l перпендикулярна к плоскости P. Тогда любой вектор, параллельный прямой l, будет перпендикулярен к любому вектору, лежащему в плоскости P. Но это противоречит определению перпендикулярности, так как перпендикулярные векторы не могут быть параллельными.

Таким образом, если прямая l перпендикулярна к плоскости P, то она не может быть параллельной к этой плоскости. Следовательно, плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.