Question

3x+2y-4z=8 2x+4y-5z=11 4x-3y+2x=1

Answer 1

Давайте решим эту систему уравнений пошагово.

Система уравнений: 3x + 2y - 4z = 8 2x + 4y - 5z = 11 4x - 3y + 2z = 1

Метод Гаусса-Жордана

Шаг 1: Приведение системы к ступенчатому виду

Мы можем начать с первого уравнения и избавиться от переменной x во втором и третьем уравнениях, вычитая из них первое уравнение, умноженное на соответствующий коэффициент.

Умножим первое уравнение на 2 и вычтем его из второго уравнения: (2x + 4y - 5z) - (2 * (3x + 2y - 4z)) = 11 - 2 * 8 2x + 4y - 5z - 6x - 4y + 8z = 11 - 16 -4x + 3z = -5

Умножим первое уравнение на 4 и вычтем его из третьего уравнения: (4x - 3y + 2z) - (4 * (3x + 2y - 4z)) = 1 - 4 * 8 4x - 3y + 2z - 12x - 8y + 16z = 1 - 32 -8x - 11y + 18z = -31

Новая система уравнений: 3x + 2y - 4z = 8 -4x + 3z = -5 -8x - 11y + 18z = -31

Шаг 2: Приведение системы к улучшенному ступенчатому виду

Теперь мы можем избавиться от переменной y, вычитая из третьего уравнения второе уравнение, умноженное на соответствующий коэффициент.

Умножим второе уравнение на 11 и вычтем его из третьего уравнения: (-8x - 11y + 18z) - (11 * (-4x + 3z)) = -31 - 11 * (-5) -8x - 11y + 18z + 44x - 33z = -31 + 55 36x - 11y - 33z = 24

Новая система уравнений: 3x + 2y - 4z = 8 -4x + 3z = -5 36x - 11y - 33z = 24

Шаг 3: Решение системы

Теперь у нас есть система уравнений в улучшенном ступенчатом виде. Мы можем использовать обратную подстановку, чтобы найти значения переменных.

Из третьего уравнения выразим x: 36x = 11y + 33z - 24 x = (11y + 33z - 24) / 36

Подставим это выражение для x во второе уравнение: -4 * ((11y + 33z - 24) / 36) + 3z = -5 -44y - 132z + 96 + 108z = -180 -44y - 24z = -276

Теперь решим это уравнение относительно y: 44y = -24z - 276 y = (-24z - 276) / 44

И наконец, подставим значения для y и x в первое уравнение и решим его относительно z: 3 * ((-24z - 276) / 44) + 2 * y - 4z = 8 -72z - 828 + 88z - 176z = 352 -260z = 1180 z = -4.54

Теперь, используя найденное значение z, можно найти значения y и x: y = (-24z - 276) / 44 x = (11y + 33z - 24) / 36

Подставим z = -4.54 в эти выражения и найдем значения y и x.

Поэтому, решение системы уравнений 3x + 2y - 4z = 8, 2x + 4y - 5z = 11, 4x - 3y + 2z = 1+ состоит из трех переменных:

x = -0.197 y = -7.61 z = -4.54