Question

Номер каждого автобусного билета – шестизначное число (несколько начальных цифр билета или даже все они могут быть и нулями). Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних его цифр. Докажите, что сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:Если счастливый билет имеет номер А, то билет с номером В=999999–А также счастливый, при этом А и В различны. Поскольку А+В=999999=1001•999=13•77•99 делится на 13, то и сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.

Answer 2

Для доказательства, что сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13, воспользуемся методом математической индукции.

Пусть S(n) - сумма всех номеров счастливых билетов, состоящих из n цифр.

Для n = 1, счастливыми билетами будут являться только однозначные числа 0 и 1. Сумма этих чисел равна 0 + 1 = 1, что делится на 13.

Предположение индукции: пусть для n-значных счастливых билетов сумма номеров делится на 13.

Докажем, что для (n+1)-значных счастливых билетов также сумма номеров будет делиться на 13.

Рассмотрим (n+1)-значный счастливый билет с номером ABCDEFG, где A, B, C - первые три цифры, а D, E, F - последние три цифры.

Сумма первых трех цифр равна A + B + C, а сумма последних трех цифр равна D + E + F.

По условию задачи, эти суммы равны друг другу: A + B + C = D + E + F.

Выразим A через B, C, D, E, F: A = D + E + F - B - C.

Теперь рассмотрим все (n+1)-значные счастливые билеты с номерами, где первая цифра A может принимать значения от 0 до 9.

Сумма всех этих номеров будет равна сумме всех возможных значений выражения D + E + F - B - C.

Заметим, что D, E, F, B и C могут принимать любые значения от 0 до 9.

Таким образом, сумма всех возможных значений выражения D + E + F - B - C равна сумме всех возможных значений выражения D + E + F, которая равна S(n) (по предположению индукции).

Таким образом, сумма всех (n+1)-значных счастливых билетов равна S(n), что делится на 13 (по предположению индукции).

Таким образом, сумма всех номеров счастливых билетов делится на 13.