Question

Отрезки АВ и СМ пересекаются в точке О. Постройте рисунок и найдите координаты точки О, если А(-3; 1), В(5; -3), С(2; -3) и М(11; 5).

Answer 1

График на фото. Ответ : О (3;-2)

Answer 2

Конечно, построим этот рисунок! Начнем с построения отрезков \(AB\) и \(CM\), а затем найдем точку их пересечения \(O\).

1. Найдем уравнения прямых, содержащих отрезки \(AB\) и \(CM\). Отрезок \(AB\) имеет точки \(A(-3, 1)\) и \(B(5, -3)\). Уравнение прямой через две точки можно найти, используя формулу:

\[y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)\]

Для отрезка \(AB\):

\[y - 1 = \frac{-3 - 1}{5 - (-3)} \cdot (x - (-3))\] \[y - 1 = \frac{-4}{8} \cdot (x + 3)\] \[y - 1 = -\frac{1}{2} \cdot (x + 3)\] \[2y - 2 = -x - 3\] \[x + 2y = 1\]

Отрезок \(CM\) имеет точки \(C(2, -3)\) и \(M(11, 5)\). Уравнение прямой через эти две точки:

\[y - (-3) = \frac{5 - (-3)}{11 - 2} \cdot (x - 2)\] \[y + 3 = \frac{8}{9} \cdot (x - 2)\] \[9y + 27 = 8x - 16\] \[8x - 9y = 43\]

2. Теперь найдем точку пересечения \(O\) этих двух прямых. Это будет решение системы уравнений:

\[\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 8x - 9y = 43 \end{cases}\]

Решив эту систему, найдем координаты точки \(O\). Давайте найдем \(x\) и \(y\).

Умножим первое уравнение на 8, чтобы избавиться от коэффициента перед \(x\) во втором уравнении:

\[\begin{cases} 8x + 16y = 8 \\ 8x - 9y = 43 \end{cases}\]

Вычтем уравнения:

\[25y = -35\] \[y = -\frac{35}{25} = -\frac{7}{5}\]

Теперь, найдем \(x\) из уравнения \(x + 2y = 1\):

\[x + 2 \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = 1\] \[x - \frac{14}{5} = 1\] \[x = 1 + \frac{14}{5}\] \[x = \frac{5}{5} + \frac{14}{5}\] \[x = \frac{19}{5}\]

Таким образом, координаты точки \(O\) равны \(O\left(\frac{19}{5}, -\frac{7}{5}\right)\).