Question

Срочно помогите!!!! Привести рівняння до канонічного вигляду .обчислити довжинм осей, між фокусну відстань, координати вершин та фокусів 25x^2+16y^2=400

Answer 1

Ответ:

Каноническое уравнение  $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$

Большая ось В₁В₂ = 10; а малая ось А₁А₂ = 8.

Межфокусное расстояние F₁F₂ = 6

Координаты фокусов: F₁(0; 3); F₂(0; -3);

вершин: А₁(4; 0); А₂(-4; 0); В₁(0; 5); В₂(0; -5).

Пошаговое объяснение:

Привести уравнение к каноническому, вычислить длину осей, межфокусное расстояние, координаты вершин и фокусов.

25x²+16y²=400

• Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная длине большой оси.
• Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
•                             $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,

где а и b - положительные действительные числа, полуоси эллипса.

Составим каноническое уравнение. Для этого разделим левую и правую части равенства на 400, то есть, чтобы справа была 1:

$\displaystyle 25x^2+16y^2=400\;\;\;\;\;|:400\\\\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$

Вычислим длину осей.

У нас а²=16 ⇒ а = 4; b² = 25 ⇒ b = 5.

У нас b > a ⇒ большая ось расположена на оси Оу, а малая ось на оси Ох.

Тогда большая ось В₁В₂ = 2b = 10; а малая ось А₁А₂ = 2а = 8.

Найдем межфокусное расстояние.

Так как большая ось лежит на оси Оу, то имеет место равенство:

b² = a² + c², где с - расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса.

Отсюда

$c=\sqrt{b^2-a^2} \\\\c=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$

Расстояние между фокусами равно

F₁F₂ = 2c = 6

Координаты вершин и фокусов.

Фокусы расположены на большой оси и имеют координаты:

F₁(0; c); F₂(0; -c)

Координаты вершин имеют координаты:

А₁(a; 0); A₂(-a; 0); B₁(0; b); B₂(0; -b)

В нашем задании координаты фокусов:

F₁(0; 3); F₂(0; -3);

вершин:

А₁(4; 0); А₂(-4; 0); В₁(0; 5); В₂(0; -5).

#SPJ1

Answer 2

Здається, у вас є рівняння еліпса в загальній формі: \(25x^2 + 16y^2 = 400\). Щоб привести його до канонічного вигляду, тобто виду \(\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1\) або \(\frac{{(y - k)^2}}{{a^2}} + \frac{{(x - h)^2}}{{b^2}} = 1\), треба визначити значення \(a\), \(b\), \(h\), \(k\).

Спочатку поділимо обидві частини рівняння на 400, щоб отримати 1 справа:

\[ \frac{{25x^2}}{{400}} + \frac{{16y^2}}{{400}} = 1 \]

Потім скористаємося властивостями еліпса для подальших перетворень. Зазвичай еліпс орієнтований вздовж координатних вісей, і основні півосі \(a\) і \(b\) зв'язані з коефіцієнтами при \(x^2\) і \(y^2\) наступним чином:

\[ \frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1 \]

Таким чином, ми хочемо, щоб числа перед \(x^2\) та \(y^2\) були однаковими та щоб вони були рівні 1. Однак у нас є коефіцієнти 25 і 16, тому давайте вирівняємо їх. Розділімо обидві сторони на 400/25 = 16:

\[ \frac{{25x^2}}{{400}} \cdot \frac{{16}}{{16}} + \frac{{16y^2}}{{400}} \cdot \frac{{25}}{{25}} = 1 \]

Отримаємо:

\[ \frac{{x^2}}{{16}} + \frac{{y^2}}{{25}} = 1 \]

Тепер ми можемо записати рівняння в канонічному вигляді:

\[ \frac{{x^2}}{{4^2}} + \frac{{y^2}}{{5^2}} = 1 \]

Звідси маємо:

\[ a = 4, \quad b = 5, \quad h = 0, \quad k = 0 \]

Таким чином, основні півосі еліпса мають довжини 8 і 10, фокусна відстань \(c\) обчислюється за формулою \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\), координати вершин еліпса \(V(h, k \pm b)\), а фокуси \(F(h, k \pm c)\). В конкретному випадку:

\[ c = \sqrt{4^2 - 5^2} = \sqrt{16 - 25} = \sqrt{-9} \]

Оскільки корінь з від'ємного числа не має сенсу в контексті довжини, виглядає, що ви, можливо, допустили помилку в рівнянні або в інших введених даних. Виправте помилку, і я готовий допомогти вам далі.