Question

Найти множество значений функции f(x)= sinx+cosx

Answer 1

$f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left ( \cfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right )=\sqrt{2}\left ( \cos \cfrac{\pi}{4}\sin x+\sin \cfrac{\pi}{4}\cos x \right )=\\=\sqrt{2}\sin \left ( x+\frac{\pi}{4} \right )\\\\\mathrm{E}\left ( \sin x \right )=\left [ -1,1 \right ]\Rightarrow \mathrm{E}\left ( \sqrt{2}\sin x \right )=\left [ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right ]$

Answer 2

Ответ:

Е(f) = [- √2; √2].

Пошаговое объяснение:

f(x) = sinx + cosx

Вынесем за скобки общий множитель √(1²+1²) = √2, получим

f(x) = sinx + cosx =

=√2•(1/√2•sinx + 1/√2•cosx) =

=√2 • (cos(π/4) • sinx + sin(π/4) • cosx) =

= √2 • sin( x + π/4).

- 1 ≤ sin( x + π/4) ≤ 1 при любом значении х, тогда

- √2 ≤ √2•sin(x + π/4) ≤ √2,

Е(f) = [- √2; √2 ].

Answer 3

Множество значений функции f(x) = sin(x) + cos(x) можно найти, рассматривая значения синуса и косинуса на всем промежутке [0, 2π].

Значение синуса и косинуса на данном промежутке изменяются от -1 до 1. При этом, для любого значения угла x, справедливо равенство sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Таким образом, сумма sin(x) + cos(x) будет изменяться от -2 до 2, так как минимальное значение синуса и косинуса равно -1, а максимальное - 1.

Таким образом, множество значений функции f(x) = sin(x) + cos(x) на промежутке [0, 2π] будет [-2, 2].