Question

Дослідити функцію та побудувати ії графік у = 2х^3 - 3х^2 Помогите срочно!!

Answer 1

Ответ:

вот

Пошаговое объяснение:

Точка пересечения графика функции с осью координат Y:

График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 2x3-3x2.

у ==2*03-3*02 = 0,

Результат: y=0. Точка: (0; 0.

Точки пересечения графика функции с осью координат X:

График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:

2x3-3x2 = 0

Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:

x2(2х-3) = 0,

х1 = 0,  х2 = 3/2 = 1,5.

Результат: y=0. Точки: (0; 0) и (1,5; 0).

Экстремумы функции:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y'=6x2 – 6х = 0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:

6x(х-1) = 0,

х1 = 0,  х2  = 1.

Результат: y=0. Точки: (0; 0) и (1; 0).

Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

x = -1 0 0,5 1 1,5

y' = 12 0 -1,5 0 4,5

• Минимум функции в точке: х = 1,

• Максимум функции в точке: х = 0.

• Возрастает на промежутках: (-oo; 0) U (1,5; oo)

• Убывает на промежутках: (0; 1,5)

Точки перегибов графика функции:

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,

+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:

y''=12x – 6 = 0

Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:

1. x=6/12 = 0,5. Точка: (0,5; 0)

Интервалы выпуклости, вогнутости:

Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов :

• Вогнутая на промежутках: (0,5; oo)

• Выпуклая на промежутках: (-oo;0,5)

Вертикальные асимптоты – нет.

Горизонтальные асимптоты графика функции:

Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:

• lim 2x3-3x2, x->+oo = oo, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует

• lim 2x3-3x2, x->-oo = -oo, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует

Наклонные асимптоты графика функции:

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:

• lim 2x3-3x2/x, x->+oo = oo, значит, наклонной асимптоты справа не существует

• lim 2x3-3x2/x, x->-oo = oo, значит, наклонной асимптоты слева не существует

Четность и нечетность функции:

Проверим функцию -  четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:

• 2(-x3)-3(-x2) =  -2x3-3x2- Нет

• 2(-x3)-3(-x2) = -(2x3+3x2) – нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Точка пересечения графика функции с осью координат Y:

График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 2x3-3x2.

у ==2*03-3*02 = 0,

Результат: y=0. Точка: (0; 0.

Точки пересечения графика функции с осью координат X:

График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:

2x3-3x2 = 0

Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:

x2(2х-3) = 0,

х1 = 0,  х2 = 3/2 = 1,5.

Результат: y=0. Точки: (0; 0) и (1,5; 0).

Экстремумы функции:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y'=6x2 – 6х = 0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:

6x(х-1) = 0,

х1 = 0,  х2  = 1.

Результат: y=0. Точки: (0; 0) и (1; 0).

Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

x = -1 0 0,5 1 1,5

y' = 12 0 -1,5 0 4,5

• Минимум функции в точке: х = 1,

• Максимум функции в точке: х = 0.

• Возрастает на промежутках: (-oo; 0) U (1,5; oo)

• Убывает на промежутках: (0; 1,5)

Точки перегибов графика функции:

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,

+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:

y''=12x – 6 = 0

Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:

1. x=6/12 = 0,5. Точка: (0,5; 0)

Интервалы выпуклости, вогнутости:

Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов :

• Вогнутая на промежутках: (0,5; oo)

• Выпуклая на промежутках: (-oo;0,5)

Вертикальные асимптоты – нет.

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо функцію \(y = 2x^3 - 3x^2\) та побудуємо її графік.

Функція має вигляд \(y = 2x^3 - 3x^2\). Щоб зрозуміти, як функція змінюється, можна вивчити її основні характеристики, такі як значення у вершинах та точки перегину.

Знайдемо значення у вершині:

Щоб знайти вершину, потрібно взяти похідну від функції та прирівняти її до нуля:

\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2) \]

\[ y' = 6x^2 - 6x \]

Тепер прирівняємо до нуля:

\[ 6x^2 - 6x = 0 \]

Факторизуємо:

\[ 6x(x - 1) = 0 \]

Отримуємо дві рівності:

\[ 6x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

\[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]

Це дає нам дві можливі точки вершини, \(x = 0\) та \(x = 1\). Тепер знайдемо значення \(y\) у цих точках:

\[ y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0 \]

\[ y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 = -1 \]

Отже, вершина розташована у точці (0, 0) і функція досягає мінімуму -1 у цій точці.

Знайдемо точки перегину:

Точки перегину визначаються другою похідною. Знайдемо другу похідну:

\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(2x^3 - 3x^2) \]

\[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) \]

\[ y'' = 12x - 6 \]

Тепер прирівняємо до нуля:

\[ 12x - 6 = 0 \]

\[ 12x = 6 \]

\[ x = \frac{1}{2} \]

Таким чином, точка перегину розташована при \(x = \frac{1}{2}\).

Побудова графіка:

Тепер, коли ми маємо значення у вершині та точках перегину, можемо побудувати графік функції.

\[ y = 2x^3 - 3x^2 \]

Графік буде мати мінімум у точці (0, 0) та точку перегину у \(x = \frac{1}{2}\). Якщо ви хочете докладніше побачити, як функція змінюється, використовуйте програму для побудови графіків або відвідайте відповідний веб-сайт, такий як Desmos чи GeoGebra.

Це базовий підхід до вивчення та розуміння функцій та їх графіків. Надіюся, що це вам допоможе!