Question

Спортивний майданчик прямокутної форми має площу 840 кв. м. Якщо довжину майданчика зменшити на 5 м, а ширину – збільшити на 4 м, то отримаємо прямокутник, що має таку саму площу. Знайдіть розміри майданчика​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Довжина майданчика може бути записана як x, а ширина – як y.
Запишемо умову для площі майданчика: x * y = 840.

Запишемо умову для нового майданчика: (x - 5) * (y + 4) = 840.

Розв'яжемо перше рівняння для x: x * y = 840 -> x = 840 / y.

Замінимо x у другому рівнянні: (840 / y - 5) * (y + 4) = 840.

Приведемо рівняння до виду, зручного для розв'язання: 840 / y - 5 * y - 20 = 0.

Вираз 840 / y - 5 * y - 20 можна записати як -5 * y^2 + 840 / y - 20.

Використовуючи метод дискримінанту, розв'яжемо це рівняння:

b^2 - 4 * a * c = -840 / y^2 + 20 * y + 100 = 0

D = 20^2 - 4 * (-840 / y^2 + 100) = 20^2 + 4 * 840 / y^2 - 400 = 0

D = y^2 = 84000 / 400 = 210

y = ±√210 = ±14.4, але y повинно бути натуральним числом, тому y = 14.

Знайдемо x: x = 840 / y = 840 / 14 = 60.

Отже, розміри майданчика – x = 60 м, y = 14 м.

Answer 2

Нехай початкова довжина майданчика буде \( х \) метрів, а ширина \( у \) метрів. Тоді маємо:

\[ xy = 840 \, м^2 \]

Якщо довжину зменшити на 5 метрів, а ширину збільшити на 4 метри, отримаємо нові розміри:

\[ (x - 5)(y + 4) = 840 \, м^2 \]

Розкривши дужки і враховуючи вирази для площі майданчика та нового прямокутника, отримаємо систему рівнянь:

\[ xy = 840 \]

\[ (x - 5)(y + 4) = 840 \]

Розв'язуючи цю систему, можна знайти значення \( x \) та \( y \) (початкова довжина та ширина майданчика).

Спростимо друге рівняння:

\[ xy + 4x - 5y - 20 = 840 \]

Тепер підставимо перше рівняння:

\[ 840 + 4x - 5y - 20 = 840 \]

Скасуємо 840 з обох боків:

\[ 4x - 5y - 20 = 0 \]

Тепер можна виразити одну змінну через іншу:

\[ 4x = 5y + 20 \]

\[ x = \frac{5y + 20}{4} \]

Тепер підставимо це значення у перше рівняння:

\[ \frac{5y + 20}{4} \cdot y = 840 \]

\[ 5y + 20 \cdot y = 4 \cdot 840 \]

\[ 5y^2 + 20y - 3360 = 0 \]

Розв'яжемо квадратне рівняння:

\[ y^2 + 4y - 672 = 0 \]

Знайдемо корені цього рівняння, наприклад, за допомогою квадратного кореня:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

де \( a = 1, b = 4, c = -672 \).

Після розрахунків отримаємо два значення \( y \), одне з яких буде від'ємним і, отже, не має фізичного сенсу у контексті завдання. Візьмемо додатнє значення \( y \), яке представляє ширину майданчика.

Після знаходження значення \( y \), можна підставити його у вираз для \( x \):

\[ x = \frac{5y + 20}{4} \]

Таким чином, отримаємо значення \( x \).

Пам'ятайте, що в контексті фізичного завдання, розміри не можуть бути від'ємними.