Question

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами 6 и 8, высота пирамиды, проходящей через середину гипотенузы AB, равна 12. Найди боковые ребра пирамиды

Answer 1

Ответ:

SA = SC = SB = 13.

Пошаговое объяснение:

По теореме Пифагора сразу найдем гипотенузу треугольника в основании: АВ = 10.

Пусть Н - середина гипотенузы.

АН = ВН = СН = 5 (медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы).

Рассмотрим треугольник SCH - он прямоугольный (т.к. SH - высота пирамиды, т.е. SH перпендикулярно плоскости основания АВС, а значит и любой прямой в плоскости АВС).

По теореме Пифагора:

SC^2 = SH^2 + CH^2

SC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 +25 = 169 = 13^2

Значит, SC = 13

При этом SA = SB = SC (т.к. SH - перпендикуляр, SA, SB, SC - наклонные, HA, HB, HC - проекции. Равным проекциям соответствуют равные наклонные).

Получили, что SA = SC = SB = 13.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников и пирамид.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Дано, что AB = 6, BC = 8. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения AC:

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] \[ AC = \sqrt{6^2 + 8^2} \] \[ AC = \sqrt{36 + 64} \] \[ AC = \sqrt{100} \] \[ AC = 10 \]

Теперь мы знаем, что AC равна 10. Дано также, что высота пирамиды, проходящей через середину гипотенузы AB, равна 12. Поскольку эта высота делит гипотенузу пополам, мы можем сказать, что \( AM = MB = \frac{AC}{2} \). Таким образом, AM = MB = 5.

Теперь у нас есть треугольник AMB, и мы знаем длины его сторон: AM = MB = 5, AB = 6. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти BM:

\[ BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} \] \[ BM = \sqrt{6^2 - 5^2} \] \[ BM = \sqrt{36 - 25} \] \[ BM = \sqrt{11} \]

Таким образом, BM равно \(\sqrt{11}\). Теперь у нас есть все стороны треугольника AMB, и мы можем приступить к решению задачи.

Рассмотрим пирамиду SABC. Боковые ребра пирамиды - это отрезки SA, SB и SC. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины этих отрезков.

1. Для отрезка SA: \[ SA = \sqrt{AM^2 + SM^2} \] \[ SA = \sqrt{5^2 + 12^2} \] \[ SA = \sqrt{25 + 144} \] \[ SA = \sqrt{169} \] \[ SA = 13 \]

2. Для отрезка SB: \[ SB = \sqrt{BM^2 + SM^2} \] \[ SB = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 12^2} \] \[ SB = \sqrt{11 + 144} \] \[ SB = \sqrt{155} \]

3. Для отрезка SC: \[ SC = \sqrt{BC^2 + BM^2} \] \[ SC = \sqrt{8^2 + (\sqrt{11})^2} \] \[ SC = \sqrt{64 + 11} \] \[ SC = \sqrt{75} \]

Таким образом, боковые ребра пирамиды равны: \[ SA = 13 \] \[ SB = \sqrt{155} \] \[ SC = \sqrt{75} \]