Question

Уравнение линии второго порядка приведите к каноническому виду; определите тип кривой, постройте ее 9х^2−16у^2−54x−64y=127.

Answer 1

Выделяем полные квадраты:

для x:

9(x²-2·3x + 3²) -9·3² = 9(x1-3)²-81

для y:

-16(y²+2·21 + 2²) +16·2² = -16(y1+2)²+64

В итоге получаем:

9(x-3)²-16(y+2)² = 144

Разделим все выражение на 144

(9(x-3)²/144) - (16(y+2)²/144) = 144/144,

((x-3)²/16) - ((y+2)²/9) = 1,

Данное уравнение определяет гиперболу ((x-3)²/4²) - ((y+2)²/3²) = 1

с центром в точке C(3; -2) и полуосями: a = 4 (действительная полуось); b = 3 (мнимая полуось).

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами с учётом центра (3; -2).

Определим параметр c: c² = a² + b² = 16 + 9 = 25.

c = 5.

Координаты фокусов (3 +-5; -2) = (-2; -2) и (8; -2).

Тогда эксцентриситет будет равен: е = с/а = 5/4.  

Асимптотами гиперболы будут прямые: у + уо = ±(b/a)(x - xo).

y = ±(3/4)(x - 3) + 2.  

 

Answer 2

Чтобы привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду, необходимо преобразовать его таким образом, чтобы оно содержало только квадраты координат и не имело кросс-терминов.

Для уравнения 9х² - 16у² - 54x - 64y = 127:

1. Для начала нужно перенести свободный член на другую сторону уравнения:

9х² - 16у² - 54x - 64y - 127 = 0

2. Затем объединить все квадраты по отдельным переменным:

(9х² - 54x) - (16у² + 64y) = 127

3. Необходимо внести коэффициенты перед квадратами в скобки:

9(х² - 6x) - 16(у² + 4y) = 127

4. Далее нужно выделить полные квадраты в скобках:

9(х² - 6x + 9) - 16(у² + 4y + 4) = 127 + 9*9 - 16*4

9(х - 3)² - 16(у + 2)² = 144

5. В итоге получаем уравнение в каноническом виде:

9(х - 3)² - 16(у + 2)² = 144

Таким образом, данная кривая является гиперболой, так как уравнение имеет разность квадратов.

Для построения кривой необходимо найти фокусы, директрисы и асимптоты. Для гиперболы уравнение директрисы имеет вид x = a/c или y = c/a, где a и c - полуоси гиперболы. Фокусы находятся на оси гиперболы и отличаются от начала координат a^2 + c^2.

В данном случае a = 3, c = 4, поэтому фокусы будут находиться в точках (±5, 0).

Директрисы гиперболы определяются уравнением x = ±a/c или y = ±c/a. В данном случае они равны x = ±3/4 или y = ±4/3.

Асимптоты определяются уравнением y = ±(c/a)x или x = ±(a/c)y. В данном случае асимптоты будут равны y = ±(4/3)x или x = ±(3/4)y.

Таким образом, для построения гиперболы необходимо нарисовать ее оси, фокусы в точках (±5,0), директрисы x = ±3/4 или y = ±4/3 и асимптоты y = ±(4/3)x или x = ±(3/4)y.