Question

Задание 3. Постройте модель графа для решения следующей задачи: «В некотором районе было решено провести газопровод между пятью деревнями А, В, С, Д, Е. Стоимость прокладки газопровода указанна в таблице (тыс. у.е.): А В С Д Е А 1000 700 1000 1100 В 1000 999 1010 899 С 700 999 1010 900 Д 1000 1010 1010 1200 Е 1100 899 900 1200 Как провести газопровод, чтобы к газу были подключены все пять деревень, и затраты при этом были минимальные?»

Answer 1

Ответ:

Найдём все варианты маршрутов из A в E и выберем самый короткий. Из пункта A можно попасть в пункты B, D. Из пункта B можно попасть в пункты C, D. Из пункта C можно попасть в пункты D, E. A—B—C—E: длина маршрута 7 км. A—D—B—C—E: длина маршрута 9 км. A—D—C—E: длина маршрута 6 км. Самый короткий путь: A—D—C—E. Длина маршрута 6 км.

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо построить модель графа, где вершинами будут деревни А, В, С, Д, Е, а ребрами будут соединены пары деревень и указана стоимость прокладки газопровода между ними.

В данной задаче нам нужно найти минимальный путь, который проходит через все вершины графа без повторений. Для нахождения такого пути можно использовать алгоритм поиска кратчайшего пути, например, алгоритм Дейкстры.

Строим матрицу изображающую граф: А В С Д Е А 0 1000 700 1000 1100 В 1000 0 999 1010 899 С 700 999 0 1010 900 Д 1000 1010 1010 0 1200 Е 1100 899 900 1200 0

Проведем расчет алгоритмом Дейкстры:

1. Создаем список стоимости до начальной вершины (А) и устанавливаем начальную стоимость в 0, а для всех остальных вершин в бесконечность. 2. Помечаем начальную вершину как текущую. 3. Для текущей вершины, проверяем все соседние вершины (вершины, соединенные ребром с текущей вершиной): - Если стоимость до текущей вершины плюс стоимость ребра до соседней вершины меньше, чем текущая стоимость до соседней вершины, обновляем стоимость до соседней вершины. 4. После обновления стоимостей, помечаем текущую вершину как посещенную. 5. Если есть непосещенные вершины, выбираем из них вершину с минимальной стоимостью и делаем ее текущей. 6. Повторяем шаги 3-6 до тех пор, пока все вершины не будут помечены как посещенные. 7. По окончании алгоритма, можно определить минимальную стоимость до каждой вершины.

Применяем алгоритм Дейкстры: А В С Д Е А 0 1000 700 1000 1100 В 1000 0 999 1010 899 С 700 999 0 1010 900 Д 1000 1010 1010 0 1200 Е 1100 899 900 1200 0

- Найдем вершину с минимальной стоимостью до нее: В - стоимость 1000. - Теперь мы посетили вершину В и можем учесть ее в оценке стоимости других вершин. - Обновляем стоимость для каждой вершины, не принадлежащей уже посещенным и имеющих соединение с вершиной В, суммируя стоимость вершины В и стоимость прокладки газопровода между В и этой вершиной. - Теперь обновляем матрицу: А В С Д Е А 0 1000 700 1000 899 В 1000 0 999 1010 899 С 700 999 0 1010 900 Д 1000 1010 1010 0 1200 Е 1100 899 900 1200 0

- Найдем вершину с минимальной стоимостью до нее: Е - стоимость 899. - Теперь мы посетили вершину Е и можем учесть ее в оценке стоимости других вершин. - Обновляем стоимость для каждой вершины, не принадлежащей уже посещенным и имеющих соединение с вершиной Е, суммируя стоимость вершины Е и стоимость прокладки газопровода между Е и этой вершиной. - Теперь обновляем матрицу: А В С Д Е А 0 1000 700 1000 899 В 1000 0 999 1010 899 С 700 999 0 1010 900 Д 1000 1010 1010 0 1200 Е 1100 899 900 1200 0

- Найдем вершину с минимальной стоимостью до нее: С - стоимость 700. - Теперь мы посетили вершину С и можем учесть ее в оценке стоимости других вершин. - Обновляем стоимость для каждой вершины, не принадлежащей уже посещенным и имеющих соединение с вершиной С, суммируя стоимость вершины С и стоимость прокладки газопровода между С и этой вершиной. - Теперь обновляем матрицу: А В С Д Е А 0 1000 700 1000 899 В 1000 0 999 1010 700 С 700 999 0 1010 700 Д 1000 1010 1010 0 1200 Е 1100 890 900 1200 0

- Найдем вершину с минимальной стоимостью до нее: А - стоимость 700. - Теперь мы посетили вершину А и можем учесть ее в оценке стоимости других вершин. - Обновляем стоимость для каждой вершины, не принадлежащей уже посещенным и имеющих соединение с вершиной А, суммируя стоимость вершины А и стоимость прокладки газопровода между А и этой вершиной. - Теперь обновляем матрицу: А В С Д Е А 0 1000 700 1000 700 В 1000 0 999 1010 700 С 700 999 0 1010 700 Д 1000 1010 1010 0 1200 Е 1100 890 900 1200 0

- Найдем вершину с минимальной стоимостью до нее: Д - стоимость 1000. - Теперь мы посетили вершину Д и можем учесть ее в оценке стоимости других вершин. - Обновляем стоимость для каждой вершины, не принадлежащей уже посещенным и имеющих соединение с вершиной Д, суммируя стоимость вершины