Question

Решить систему уравнений методом гаусса:3x-4y+5z=52x-y+2z=4x-2y+3z=-1​

Answer 1

Ответ:

x = 4

y = -2

z = -3

Пошаговое объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}3x-4y+5z=5\\2x-y+2z=4\\x-2y+3z=-1\end{array}\right$

Составим расширенную матрицу.

$\left(\begin{array}{cccc}3&-4&5\\2&-1&2\\1&-2&3\end{array}\right|\left\begin{array}{c}5\\4\\-1\end{array}\right)$

Поменяем местами первую и третью строки.

$\left(\begin{array}{cccc}1&-2&3\\2&-1&2\\3&-4&5\end{array}\right|\left\begin{array}{c}-1\\4\\5\end{array}\right)$

Умножим первую строку на (-3) и прибавим ее к третьей строке.

$\left(\begin{array}{cccc}1&-2&3\\2&-1&2\\0&2&-4\end{array}\right|\left\begin{array}{c}-1\\4\\8\end{array}\right)$

Первую строку умножим на (-2) и прибавим ко второй строке.

$\left(\begin{array}{cccc}1&-2&3\\0&3&-4\\0&2&-4\end{array}\right|\left\begin{array}{c}-1\\6\\8\end{array}\right)$

Вторую строку умножим на $(-\frac{2}{3})$ и прибавим к третьей строке.

$\left(\begin{array}{cccc}1&-2&3\\0&3&-4\\0&0&-\frac{4}{3} \end{array}\right|\left\begin{array}{c}-1\\6\\4\end{array}\right)$

Получаем следующую систему уравнений.

$\left\{\begin{array}{c}x-2y+3z=-1\\3y-4z=6\\-\frac{4}{3} z=4\end{array}\right$

Находим z из третьего уравнения.

$-\frac{4}{3} z=4\\z=-3$

Подставляем этот результат во второе уравнение и находим у.

$3y-4*(-3)=6\\3y=6-12\\3y=-6\\y=-2$

Подставляем значения z и у в первое уравнение и находим х.

$x-2y+3z=-1\\x-2*(-2)+3*(-3)=-1\\x+4-9=-1\\x=5-1\\x=4$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений методом Гаусса, нам нужно привести ее к треугольной (верхней или нижней) матрице. Для этого мы будем выполнять ряд элементарных преобразований над уравнениями системы.

1. Сначала возьмем первое уравнение и умножим его на 2: 6x - 8y + 10z = 10

2. Затем вычтем из умноженного уравнения второе уравнение (умноженное на 3): 6x - 8y + 10z - (6x - 3y + 6z) = 10 - (4) -8y + 4y + 4z = 6

3. Получим уравнение: -4y + 4z = 6

4. Затем умножим первое уравнение на 4: 12x - 16y + 20z = 20

5. Вычтем из умноженного уравнения третье уравнение (умноженное на 3): 12x - 16y + 20z - (12x - 8y + 12z) = 20 - (-1) -16y + 8y + 8z = 21

6. Получим уравнение: -8y + 8z = 21

Таким образом, после выполнения данных элементарных преобразований, система уравнений примет вид:

12x - 16y + 20z = 20 -8y + 8z = 21 -4y + 4z = 6

В этом виде систему уравнений можно решить путем обратной подстановки или использовать метод Гаусса-Жордана для приведения ее к диагональной матрице.