Question

Какой будет остаток число 3 в степени 100 поделенное на 7

Answer 1

Відповідь:

Для знаходження остачі числа 3^100 при діленні на 7 можна скористатися малою теоремою Ферма. Зазначимо, що 3 і 7 є взаємопростими числами, оскільки їх найбільший спільний дільник дорівнює 1.

Мала теорема Ферма стверджує, що для будь-якого натурального числа "a", якщо "p" є простим числом і "a" не є кратним "p" (тобто GCD(a, p) = 1), то a^(p-1) при діленні на "p" залишок дорівнює 1.

У вашому випадку, "a" = 3, "p" = 7 (просте число). Тому ми можемо використати малу теорему Ферма для знаходження остачі:

3^(7-1) = 3^6 ≡ 1 (mod 7)

Тепер, ми можемо виразити 3^100 як (3^6)^16, і остача залишиться незмінною:

(3^6)^16 ≡ 1^16 ≡ 1 (mod 7)

Отже, остача числа 3^100 при діленні на 7 дорівнює 1.

Answer 2

Для нахождения остатка числа 3 в степени 100, поделенного на 7, можно воспользоваться свойством остатков при возведении в степень.

Сначала найдем остатки при делении степеней числа 3 на 7:

3^1 = 3 (остаток при делении на 7: 3) 3^2 = 9 (остаток при делении на 7: 2) 3^3 = 27 (остаток при делении на 7: 6) 3^4 = 81 (остаток при делении на 7: 4) 3^5 = 243 (остаток при делении на 7: 5) ...

Мы видим, что остатки при возведении числа 3 в степень образуют циклическую последовательность: 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, ...

Мы можем заметить, что цикл состоит из 6 элементов. Таким образом, чтобы найти остаток числа 3 в степени 100, нужно поделить 100 на 6 (число элементов в цикле), и остаток от деления равен 4.

Таким образом, остаток числа 3 в степени 100, поделенного на 7, равен остатку при делении 3^4 на 7.

3^4 = 81 (остаток при делении на 7: 4)

Поэтому, остаток числа 3 в степени 100, поделенного на 7, равен 4.