Question

Помогите пожалуйста очень срочно, если не трудно. integrate (3x - 1)/((x - 3)(x + 2)) dx

Answer 1

Чтобы проинтегрировать данную функцию, мы сначала разложим дробь на простейшие дроби с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Дробь (3x - 1)/((x - 3)(x + 2)) можно представить в виде:

A/(x - 3) + B/(x + 2)

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Чтобы найти эти коэффициенты, мы складываем дроби с общим знаменателем:

(3x - 1)/((x - 3)(x + 2)) = A/(x - 3) + B/(x + 2)

Умножаем обе части уравнения на (x - 3)(x + 2):

3x - 1 = A(x + 2) + B(x - 3)

Раскрываем скобки:

3x - 1 = Ax + 2A + Bx - 3B

Сортируем по степеням x:

3x - 1 = (A + B)x + (2A - 3B)

Теперь мы можем сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x:

A + B = 3 (коэффициент при x) 2A - 3B = -1 (константный коэффициент)

Решая эту систему уравнений, найдем значения A и B:

A = 1, B = 2

Теперь, разлагая исходную функцию на простейшие дроби, получаем:

(3x - 1)/((x - 3)(x + 2)) = 1/(x - 3) + 2/(x + 2)

Теперь мы можем приступить к интегрированию:

∫((3x - 1)/((x - 3)(x + 2))) dx = ∫(1/(x - 3) + 2/(x + 2)) dx

Интегрируем каждую часть по отдельности:

∫(1/(x - 3) + 2/(x + 2)) dx = ∫(1/(x - 3)) dx + ∫(2/(x + 2)) dx

∫(1/(x - 3)) dx = ln|x - 3| + C1

∫(2/(x + 2)) dx = 2ln|x + 2| + C2

Где C1 и C2 - константы интегрирования.

Итак, окончательный ответ:

∫((3x - 1)/((x - 3)(x + 2))) dx = ln|x - 3| + 2ln|x + 2| + C , где C - константа интегрирования.