Question

Дослідити функцію та побудуйте графік y = x³-3x

Answer 1

Звісно, давайте розглянемо функцію \( y = x^3 - 3x \) та побудуємо її графік.

Аналіз функції:

1. Знаходження точок перетину з осями координат: - Коли \( x = 0 \), то \( y = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 \). - Коли \( y = 0 \), ми можемо розв'язати рівняння \( x^3 - 3x = 0 \) і знайти корені. Очевидно, один із коренів - \( x = 0 \). Інші два корені можна знайти факторизацією: \( x(x^2 - 3) = 0 \), звідки \( x = 0 \) та \( x = \sqrt{3} \).

2. Визначення знаків похідних: - Похідна \( y' \) функції \( y = x^3 - 3x \) буде \( y' = 3x^2 - 3 \). - Розв'яжемо \( 3x^2 - 3 = 0 \) для знаходження точок екстремуму. Отримаємо \( x = -1 \) та \( x = 1 \). - Перевіримо значення похідної в інтервалах між цими точками та за межами: - Для \( x < -1, \) \( y' > 0 \), тобто функція зростає. - Між \( -1 < x < 1, \) \( y' < 0 \), функція спадає. - Для \( x > 1, \) \( y' > 0 \), функція зростає.

3. Визначення точок перегину: - Друга похідна \( y'' \) функції \( y = x^3 - 3x \) буде \( y'' = 6x \). - Точка перегину виникає, коли \( y'' = 0 \), тобто \( x = 0 \).

Побудова графіка:

Тепер давайте побудуємо графік функції \( y = x^3 - 3x \), використовуючи отримані знання.


На графіку видно, що точка (0,0) перетинується з осі координат. Також, функція має максимум в точці (-1,4) та мінімум в точці (1,-4). Точка перегину розташована в нульовій точці.

Це є загальний аналіз функції \( y = x^3 - 3x \) та її графіку. Якщо у вас є додаткові питання або щось потрібно роз'яснити, не соромтеся запитувати!