Question

Графічним методом визначити оптимальний план задачі лінійного програмування Z=3x, +4x₂ → min(max) x₁ + x₂ ≤ 20, -x₁ +4x₂ ≤ 4, x ≥ 5, x₂ ≥5.

Answer 1

Побудуємо лінії для перших двох нерівностей:
a) x₁ + x₂ ≤ 20:
Перетворимо нерівність на x₂ = -x₁ + 20 та побудуємо її лінію.
b) -x₁ + 4x₂ ≤ 4:
Перетворимо нерівність на x₂ = (1/4)x₁ + 1 та побудуємо її лінію.
Знайдемо точки перетину обидвох ліній. Ці точки визначають область, яка відповідає першим двом обмеженням.
Позначимо область, яка обмежується іншими двома умовами x₁ ≥ 5 і x₂ ≥ 5. Це буде квадрат зі стороною 5 одиниць, з центром у точці (5, 5).
Знайдемо точку перетину обох областей. Ця точка буде розв'язком задачі.
Обчислимо значення Z = 3x₁ + 4x₂ в знайденій точці. Це буде оптимальним значенням Z.
Зверніть увагу, що мінімізація функції Z = 3x₁ + 4x₂ відбувається шляхом знаходження точки, яка найближча до початку координат у визначеному просторі обмежень. Таким чином, графічний метод допоможе вам знайти оптимальний план задачі лінійного програмування. Якось так

Answer 2

Лінійне програмування (ЛП) — це метод оптимізації математичних моделей з обмеженнями. Ваша задача є задачею лінійного програмування з метою мінімізації функції Z = 3x₁ + 4x₂ при обмеженнях:

1. \(x₂ + x₁ \leq 20\) 2. \(-x₁ + 4x₂ \leq 4\) 3. \(x₁ \geq 5\) 4. \(x₂ \geq 5\)

Давайте побудуємо графік цих обмежень та знайдемо оптимальний розв'язок.

1. Обмеження \(x₂ + x₁ \leq 20\): Це лінія, яка проходить через точку (0, 20) та (20, 0). Інші точки вниз та вправо від цієї лінії задовольняють це обмеження.

2. Обмеження \(-x₁ + 4x₂ \leq 4\): Це лінія, яка проходить через точку (0, 1) та (4, 0). Точки вниз та вправо від цієї лінії задовольняють це обмеження.

3. \(x₁ \geq 5\): Це вертикальна лінія, яка проходить через точку (5, 0) та інші точки праворуч від цієї лінії.

4. \(x₂ \geq 5\): Це горизонтальна лінія, яка проходить через точку (0, 5) та інші точки вище цієї лінії.

Оптимальний розв'язок буде точкою перетину всіх цих обмежень на графіку. Ваша задача полягає в мінімізації функції \(Z = 3x₁ + 4x₂\), тобто ви шукаєте точку, в якій ця функція має найменше значення.

Оскільки цей процес краще виконувати графічно, я рекомендую використовувати графічні інструменти, такі як графічний калькулятор або програмне забезпечення для лінійного програмування. Знаходження точного числового значення може вимагати використання методів лінійного програмування, таких як симплекс-метод.

Нехай графічний метод допоможе вам візуалізувати та зрозуміти розв'язок вашої задачі лінійного програмування.