Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції: 1. у=x²-25

Answer 1

Ответ:

Проміжок зростання функції:

- Від (-∞, -5) функція спадає;

- У точці (-5, 0) досягається мінімум і починається проміжок зростання;

- Від (0, +∞) функція зростає

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції \( f(x) = x^2 - 25 \), потрібно визначити, де похідна цієї функції дорівнює нулю або не існує.

1. Запишемо функцію: \[ f(x) = x^2 - 25 \]

2. Знайдемо похідну функції \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2x \]

3. Рівняння для знаходження нулів похідної: \[ 2x = 0 \]

4. Розв'яжемо це рівняння: \[ x = 0 \]

Отже, єдиний нуль похідної - це \( x = 0 \).

Тепер давайте розглянемо інтервали між відомими точками або областями, де похідна не існує.

Похідна \( f'(x) = 2x \) завжди існує для будь-яких значень \( x \), тобто функція \( f(x) = x^2 - 25 \) є гладкою.

Тепер перевіримо знак похідної на різних інтервалах:

1. Для \( x < 0 \) (інтервал \((- \infty, 0)\)): - Беремо точку \( x = -1 \) (виберемо від'ємне значення, більше -1, наприклад, -2): - \( f'(-2) = 2(-2) = -4 \) (від'ємне значення) - Таким чином, на цьому інтервалі похідна від'ємна, що означає, що функція спадає.

2. Для \( 0 < x < 0 \) (інтервал \((0, \infty)\)): - Беремо точку \( x = 1 \) (виберемо додатне значення, більше 1, наприклад, 2): - \( f'(2) = 2(2) = 4 \) (додатне значення) - Таким чином, на цьому інтервалі похідна додатня, що означає, що функція зростає.

Отже, функція \( f(x) = x^2 - 25 \) спадає на інтервалі \((- \infty, 0)\) і зростає на інтервалі \((0, \infty)\). Точка \( x = 0 \) є точкою мінімуму, оскільки на інтервалі від'ємних значень похідна змінює з від'ємного на додатне, а на інтервалі додатних значень змінює з додатного на від'ємне.