Question

2. У січні Петрик щоденно купляв собі від однієї до трьох машинок. Першого лютого він спробував усі куплені машинки розставити в прямокутник. Коли він розставив їх у ряди по 7 машинок у кожному ряді, то виявилась 1 зайва машинка. Коли розставив у ряди по 10 машинок, то зайвими лишилися 2 машинки. З'ясуйте, чи зможе Петрик розставити їх у ряди по 4 машинки? Відповідь обґрунтуйте.​

Answer 1

Петрик щоденно купляв від однієї до трьох машинок, що означає, що він купував машинки в кількостях 1, 2 або 3 штук. Це дає нам три можливих варіанти кількості машинок, які він купив, на початок лютого.

Розглянемо кожен із можливих варіантів:

1) Петрик купив 1 машинку: В цьому випадку, він не може розставити машинки в ряди по 7 або 10, оскільки 1 не є кратним ані 7, ані 10.

2) Петрик купив 2 машинки: Тут ми маємо два варіанти розташування:

- Якщо він розставить їх в ряди по 7 машинок у кожному ряді, то вийде так: 2 машинки = 2 * 7 + 1 (зайва) = 15 машинок.

- Якщо він розставить їх в ряди по 10 машинок у кожному ряді, то вийде так: 2 машинки = 2 * 10 + 2 (зайві) = 22 машинки.

Петрик купив 3 машинки: Тут маємо три варіанти:

3) Якщо він розставить їх в ряди по 7 машинок у кожному ряді, то вийде так: 3 машинки = 3 * 7 + 2 (зайві) = 23 машинки.

Якщо він розставить їх в ряди по 10 машинок у кожному ряді, то вийде так: 3 машинки = 3 * 10 + 3 (зайві) = 33 машинки.

Отже, відповідно до умови задачі, Петрик не може розставити свої машинки в ряди по 4 машинки, оскільки жодна з кількостей машинок, які він купив, не ділиться націло на 4 (відсутність залишку при діленні на 4).

Answer 2

Давайте позначимо кількість машинок, які Петрик купляв щоденно, як "N". Також позначимо кількість днів у січні як "D". Отже, за умовою, ми маємо такі відомості:

1. Січень має D днів. 2. В січні Петрик щоденно купляв від 1 до 3 машинок. 3. Коли він розставив їх у ряди по 7 машинок, то залишалась 1 зайва. 4. Коли він розставив у ряди по 10 машинок, то залишалося 2 зайві.

Ми можемо виразити ці відомості у вигляді рівнянь:

1. D * N ≡ 1 (mod 7) (1 зайва залишається при розставленні по 7) 2. D * N ≡ 2 (mod 10) (2 зайві залишаються при розставленні по 10)

Тепер давайте розв'яжемо систему конгруенцій за допомогою китайської теореми про залишки:

1. D * N ≡ 1 (mod 7) (множимо обидві сторони на 4, оскільки 4^-1 ≡ 4 (mod 7)) 4 * D * N ≡ 4 (mod 7) D * (4 * N) ≡ 4 (mod 7)

2. D * N ≡ 2 (mod 10) (множимо обидві сторони на 9, оскільки 9^-1 ≡ 9 (mod 10)) 9 * D * N ≡ 18 (mod 10) D * (9 * N) ≡ 8 (mod 10)

Тепер об'єднаємо отримані рівняння:

1. D * (4 * N) ≡ 4 (mod 7) 2. D * (9 * N) ≡ 8 (mod 10)

Побачимо, що ми шукаємо D * N, яке задовольняє обидва ці рівняння. Знайдемо найменше ціле додатне число, що відповідає цим умовам.

Знайдемо рішення для першого рівняння: - 4 * N ≡ 4 (mod 7) при N = 2

Тепер знайдемо рішення для другого рівняння: - 9 * N ≡ 8 (mod 10) при N = 2

Отже, можливе значення N, яке відповідає обом рівнянням, - це N = 2.

Тепер ми знаємо, що Петрик купляв по 2 машинки щоденно. Перевіримо, чи може він розставити їх у ряди по 4 машинки:

D * N ≡ 0 (mod 4)

Якщо D * N кратне 4, то Петрик може розставити машинки у ряди по 4. Підставимо N = 2:

D * 2 ≡ 0 (mod 4)

Це рівняння виконується для будь-якого D, яке кратне 2 (оскільки 2 * 2 = 4). Таким чином, Петрик може розставити машинки у ряди по 4 машинки.