Question

30 балів!!!Знайти площу фігури, обмеженої лініями: y= x² +1; y=-x+3​!!!! повний розв'язок

Answer 1

Відповідь: 4,5 од.

Покрокове пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої цими лініями, спочатку потрібно знайти точки перетину цих двох ліній. Для цього вирішимо систему рівнянь:

x² + 1 = -x + 3

Перепишемо рівняння у вигляді квадратного рівняння:

x² + x - 2 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння за допомогою дискримінанту:

D = b² - 4ac D = 1² - 4*1*(-2) D = 1 + 8 D = 9

x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a x₁,₂ = (-1 ± √9) / 2*1 x₁ = (-1 + 3) / 2 x₁ = 2 / 2 x₁ = 1 x₂ = (-1 - 3) / 2 x₂ = -4 / 2 x₂ = -2

Тепер маємо дві точки перетину: (1, 2) і (-2, 5).

Далі, щоб знайти площу фігури, обмеженої цими лініями, потрібно знайти площу під криволінійною функцією та відняти площу під прямою лінією.

Площа під криволінійною функцією: S₁ = ∫[a, b] (x² + 1) dx = (x³/3 + x) ∣[a, b] = ((b³/3 + b) - (a³/3 + a))

Площа під прямою лінією: S₂ = ∫[a, b] (-x + 3) dx = (-x²/2 + 3x) ∣[a, b] = (-(b²/2) + 3b) - (-(a²/2) + 3a)

Тепер знайдемо різницю між цими площами: S = S₁ - S₂ S = ((b³/3 + b) - (a³/3 + a)) - (-(b²/2) + 3b) - (-(a²/2) + 3a)

Підставляємо значення точок перетину: S = ((1³/3 + 1) - ((-2)³/3 + (-2))) - (-(1²/2) + 3*1) - (-(2²/2) + 3*2) S = ((1/3 + 1) - ((-8)/3 - 2)) - (-(1/2) + 3) - (-(4/2) + 6) S = (4/3 - 8/3 + 3) - (-1/2 + 3) - (-2 + 6) S = (7/3 - 8/3) - (5/2) + 4 S = -1/3 - 5/2 + 4 S = -1/3 - 15/6 + 24/6 S = -2/6 - 15/6 + 24/6 S = 7/6

Отже, площа фігури, обмеженоє цими лініями, дорівнює 7/6 квадратних одиниць.