Question

1) log64x+log8x=0.5 2) log81x+log9x+log3x=3.5 3) logax-loga^2x+loga^4x=0.75

Answer 1

1)
$Log_{64}x+Log_8x=0.5 Log_{8^2}x+Log_8x=0.5$

$\frac{1}{2}Log_8x+Log_8x=0.5 Log_8x(1/2+1)=0.5 Log_8x=0.5/ 1.5=1/3 x= \sqrt[3]{8}=2$

2)

$Log_{81}x+Log_9x+Log_3x=3.5 Log_{3^4}x+Log_{3^2}x+Log_3x=3.5 Log_3x(1/4+1/2+1)=3.5 Log_3x=2 x=3^2=9$

3)

$Log_ax-Log_{a^2}x+Log_{a^4}x=0.75 Log_ax(1-1/2+1/4)=0.75 Log_ax=1 x=a$

$x\ \textgreater \ 0; x \neq 1$

Примечание: мы воспользовались свойством логарифма

$Log_({a^p})x= \frac{1}{p}Log_ax a \neq 1: a\ \textgreater \ 0$

Answer 2

Давайте начнем с решения каждого уравнения по отдельности.

Уравнение 1: \( \log_{64}x + \log_{8}x = 0.5 \)

Мы можем воспользоваться свойствами логарифмов, чтобы объединить логарифмы с одинаковым основанием.

Сначала заметим, что \( 64 = 8^2 \), так что мы можем переписать \( \log_{64}x \) как \( \frac{\log_{8}x}{2} \).

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{\log_{8}x}{2} + \log_{8}x = 0.5 \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ \log_{8}x + 2\log_{8}x = 1 \]

\[ 3\log_{8}x = 1 \]

Теперь делим обе стороны на 3:

\[ \log_{8}x = \frac{1}{3} \]

Теперь мы можем использовать определение логарифма, чтобы найти значение \( x \):

\[ 8^{\frac{1}{3}} = x \]

\[ x = 2 \]

Уравнение 2: \( \log_{81}x + \log_{9}x + \log_{3}x = 3.5 \)

Мы можем воспользоваться свойствами логарифмов, чтобы объединить логарифмы с одинаковым основанием.

Сначала заметим, что \( 81 = 9^2 \) и \( 9 = 3^2 \), так что мы можем переписать логарифмы следующим образом:

\[ \log_{81}x = \frac{\log_{9}x}{2} \] \[ \log_{9}x = 2\log_{3}x \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{\log_{9}x}{2} + 2\log_{9}x + \log_{3}x = 3.5 \]

Обозначим \( y = \log_{3}x \), тогда уравнение примет вид:

\[ \frac{y}{4} + 2y + y = 3.5 \] \[ \frac{9y}{4} = 3.5 \] \[ y = \frac{4}{9} \cdot 3.5 \] \[ y = \frac{14}{9} \]

Теперь найдем значение \( x \):

\[ x = 3^{\frac{14}{9}} \]

Уравнение 3: \( \log{a}x - \log{a^2}x + \log{a^4}x = 0.75 \)

Мы можем использовать свойства логарифмов и правила логарифмов для объединения и упрощения логарифмов с разными основаниями.

Сначала заметим, что \( \log{a^2}x = 2\log{a}x \) и \( \log{a^4}x = 4\log{a}x \). Подставим это в уравнение:

\[ \log{a}x - 2\log{a}x + 4\log{a}x = 0.75 \] \[ 3\log{a}x = 0.75 \] \[ \log{a}x = 0.25 \]

Теперь мы можем использовать определение логарифма, чтобы найти значение \( x \):

\[ a^{0.25} = x \]

\[ x = \sqrt[4]{a} \]

Таким образом, решения уравнений:

1) \( x = 2 \) 2) \( x = 3^{\frac{14}{9}} \) 3) \( x = \sqrt[4]{a} \)