Question

Исходя из определения предела числовой последовательности показать, что lim n→∞ an=A, где an= n+4/6n+3, A=1/6

Answer 1

Ответ: утверждение доказано.

Пошаговое объяснение:

Пусть ε - сколь угодно малое положительное число. Нужно доказать, что найдётся номер N такой, что для всех номеров n>N будет выполняться неравенство /an-A/<ε, или аналогичное ему двойное неравенство A-ε<an<A+ε. В нашем случае это неравенство имеет вид 1/6-ε<(n+4)/(6*n+3)<1/6+ε. Решая сначала неравенство 1/6-ε<(n+4)/(6*n+3), находим, что оно выполняется при любых значениях n. Решая затем неравенство (n+4)//(6*n+3)<1/6+ε, находим n>7/(12*ε)-1/2. В качестве номера N можно взять либо само число 7/(12*ε)-1/2, если это число натуральное, либо ближайшее к нему меньшее его натуральное число. Таким образом, по числу ε найден соответствующий ему номер N, а потому утверждение доказано.  

Answer 2

Для того чтобы показать, что предел числовой последовательности an = n/(6n + 3) при n стремящемся к бесконечности равен A = 1/6, мы можем использовать определение предела последовательности.

Определение предела числовой последовательности

Последовательность an называется сходящейся к числу A, если для любого положительного числа ε существует такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности находятся на расстоянии меньше ε от числа A. Формально, это можно записать следующим образом:

для любого ε > 0 существует номер N, такой что для всех n ≥ N выполняется |an - A| < ε.

Доказательство

Для данной последовательности an = n/(6n + 3) и предполагаемого предела A = 1/6, давайте выберем произвольное положительное число ε > 0. Наша задача состоит в том, чтобы найти такое натуральное число N, начиная с которого все элементы последовательности находятся на расстоянии меньше ε от числа A.

Рассмотрим выражение |an - A|:

|an - A| = |n/(6n + 3) - 1/6| = |(n - (6n + 3))/(6n + 3)| = |(-5n - 3)/(6n + 3)| = 5n/(6n + 3).

Мы хотим, чтобы это выражение было меньше ε для всех n ≥ N. Заметим, что если n ≥ 1, то 5n/(6n + 3) ≤ 5/(6n + 3) ≤ 5/3n. То есть, мы можем ограничить наше выражение сверху постоянной последовательностью 5/3n.

Теперь, давайте выберем число N, так чтобы 5/3N < ε. Это возможно, так как ε > 0. Тогда, если n ≥ N, мы можем утверждать, что |an - A| = 5n/(6n + 3) ≤ 5/3n < ε.

Таким образом, мы нашли такое натуральное число N, начиная с которого все элементы последовательности находятся на расстоянии меньше ε от числа A. Следовательно, предел последовательности an = n/(6n + 3) при n стремящемся к бесконечности равен A = 1/6.

Окончательно: Исходя из определения предела числовой последовательности и доказательства, мы можем утверждать, что lim (n→∞) an = A, где an = n/(6n + 3) и A = 1/6.