Question

2cos^2•4x/3 +11sin•4x/3-7=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2cos²(4x/3) +11sin(4x/3)-7=0

воспользуемся формулой cos²(x) = 1 - sin²(x)

$\displaystyle 2 -2sin^2(4x/3) +11 sin(4x/3) -7 = 0\\\\-2sin^2(4x/3) +11sin(4x/3) -5 = 0\quad\\\\y=sin(4x/3)\quad \Rightarrow \quad -2y^2+11y-5 = 0\quad \Rightarrow \quad \boldsymbol {y_1=0.5\quad y_2=5}$

корень у₂=5 нам не подходит, т.к. -1 ≤ sin(z) ≤ 1

поэтому продолжаем решение с   у₁ = 0,5 (дальше "or" обозначает "или")

$\displaystyle sin(4x/3) = \frac{1}{2} \\\\\frac{4x}{3} =\frac{\pi}{6} +2\pi n_1, \quad n_1 \in Z \quad or\quad \frac{4x}{3} =\frac{5\pi}{6} +2\pi n_2, \quad n_2 \in Z \\\\x=\frac{\pi}{8} +\frac{3\pi}{2} n_1, \quad n_1 \in Z \quad or \quad x=\frac{5\pi}{8} +\frac{3\pi}{2} n_2, \quad n_2 \in Z$

ответ

$\displaystyle x=\frac{\pi}{8} +\frac{3\pi}{2} n_1, \quad n_1 \in Z \quad or \quad x=\frac{5\pi}{8} +\frac{3\pi}{2} n_2, \quad n_2 \in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой:

2cos^2(4x/3) + 11sin(4x/3) - 7 = 0

Перепишем синус в виде косинуса с помощью формулы синуса двойного угла: sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

2cos^2(4x/3) + 11 √(1 - cos^2(4x/3)) - 7 = 0

Введем замену: u = cos(4x/3), тогда:

2u^2 + 11 √(1 - u^2) - 7 = 0

Выражаем корень:

√(1 - u^2) = (7 - 2u^2) / 11

Возводим обе части уравнения в квадрат:

1 - u^2 = (7 - 2u^2)^2 / 11^2

Упрощаем:

11^2 - 11u^2 = (7 - 2u^2)^2

Раскрываем скобки:

121 - 11u^2 = 49 - 28u^2 + 4u^4

Переносим все слагаемые влево:

4u^4 - 17u^2 + 72 = 0

Решаем полученное уравнение в квадрате:

(2u^2 - 9)(2u^2 - 8) = 0

Получаем два уравнения:

1) 2u^2 - 9 = 0 u^2 = 9/2 u = ±√(9/2) = ±3/√2 = ±3√2/2

2) 2u^2 - 8 = 0 u^2 = 8/2 u = ±√(8/2) = ±√4 = ±2

Таким образом, получаем следующие значения для u:

1) u = 3√2/2 2) u = -3√2/2 3) u = 2 4) u = -2

Подставляем обратно выражение для u:

1) cos(4x/3) = 3√2/2 Находим x: 4x/3 = acos(3√2/2) 4x/3 = π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ x = 3π/16 + (3/2)kπ, 21π/16 + (3/2)kπ

2) cos(4x/3) = -3√2/2 Находим x: 4x/3 = acos(-3√2/2) 4x/3 = 3π/4 + 2kπ, 5π/4 + 2kπ x = 9π/16 + (3/2)kπ, 15π/16 + (3/2)kπ

3) cos(4x/3) = 2 Нет решений, так как косинус не может быть больше 1.

4) cos(4x/3) = -2 Нет решений, так как косинус не может быть меньше -1.

Поэтому итоговые решения уравнения:

x = 3π/16 + (3/2)kπ, 15π/16 + (3/2)kπ, где k - любое целое число.